5.3 圆锥曲线中的热点问题（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

第三讲 圆锥曲线中的热点问题　► 对应学生用书P72 考点1　圆锥曲线中的最值、范围问题 角度1　求线段长度、三角形面积的最值　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(2023·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线x－2y＋1＝0与C交于A，B两点，且|AB|＝4. (1)求p； (2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，·＝0，求△MNF面积的最小值． 解：(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由可得y2－4py＋2p＝0，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以|AB|＝＝|yA－yB|＝×＝4， 即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2. (2)因为F(1，0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由可得y2－4my－4n＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 因为·＝0， 所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入， 得4m2＝n2－6n＋1，4(m2＋n)＝(n－1)2>0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0， 解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d， 所以d＝， |MN|＝＝|y1－y2|＝ ＝＝2|n－1|， 所以△MNF的面积S＝×|MN|×d＝××2|n－1|＝(n－1)2， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MNF的面积Smin＝(2－2)2＝12－8. 目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型 【对点练】1.如图，已知椭圆＋y2＝1.设A，B是椭圆上异于P(0，1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值． 解：(1)设M(2cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))是椭圆上任意一点， 由P(0，1)，知|PM|2＝12cos2θ＋(1－sinθ)2＝13－11sin2θ－2sinθ＝－11≤，当且仅当sin θ＝－时取等号， 故|PM|的最大值是， 即点P到椭圆上点的距离的最大值为. (2)易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋，联立直线AB与椭圆的方程，消y整理得x2＋kx－＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－. 直线PA的方程为y＝x＋1，代入y＝－x＋3， 整理得xC＝＝， 同理可得，xD＝＝， 则|CD|＝|xC－xD|＝ ＝2 ＝2 ＝2· ＝· ＝· ≥·＝， 当且仅当4k＝，即k＝时等号成立， 所以当k＝时，|CD|取得最小值，最小值为. 角度2　求几何量、某个参数的取值范围问题 【例2】(2023·甘肃兰州一模)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA. (1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积； (2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围． 解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2，0).由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.解得y＝0或y＝，所以y1＝.因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝. (2)由题意t>3，k>0，A(－，0). 将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0. 由x1·(－)＝得x1＝. 故|AM|＝|x1＋|＝. 由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋)， 故同理可得|AN|＝. 由2|AM|＝|AN|得＝， 即(k3－2)t＝3k(2k－1). 当k＝时上式不成立，因此t＝. t>3等价于＝<0，即<0. 由此得或解得<k<2. 因此k的取值范围是(，2). 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【对点练】2.(2023·十堰模拟)已知抛物线C1：x2＝y，C2：x2＝－y，点M(x0，y0)在C2