5.2 圆锥曲线的方程与性质（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

第二讲 圆锥曲线的方程与性质　► 对应学生用书P67 考点1　圆锥曲线的定义及标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M. 2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：＋＝1(a>b>0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)； (2)双曲线：－＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或－＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)； (3)抛物线：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)， x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0). 【典例】(1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1·BA2＝－1，则C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 解析：选B.因为离心率e＝＝＝，解得＝，b2＝a2， A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1，A2， B为上顶点，所以B(0，b). 所以BA1＝(－a，－b)，BA2＝(a，－b)，因为BA1·BA2＝－1， 所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8， 故椭圆的方程为＋＝1. (2)(2023·广东深圳调研)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，P为C上一点，PF1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝，则C的方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选A.∵F1(－5，0)，F2(5，0)，∴c＝5，|F1F2|＝10， ∵PF1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝， ∴cos ∠PF1F2＝＝，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6， 由双曲线的定义可知，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，∴a＝1， ∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.∴双曲线的方程为x2－＝1. (3)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A(0，2)，与抛物线C的准线交于点N，＝，则p＝____________． 解析：设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B. 由抛物线的定义知，|MM′|＝|FM|. 因为＝，所以＝，即cos ∠NMM′＝＝， 所以cos ∠OFA＝cos ∠NMM′＝， 而cos ∠OFA＝＝＝，解得p＝2. 答案：2 求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是指确定圆锥曲线的类型，如曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入相应的标准方程写出结果． 1．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2，0)， 如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N， 由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|＝|AF|， ∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1， 故点B的坐标为(1，2)，∴k＝＝.故选D. 2．(多选)已知曲线C的方程为－＝1，下列说法正确的是(　　) A．若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则m>－n>0 B．曲线C可能是圆 C．若mn<0，则曲线C一定是双曲线 D．若C为双曲线，则渐近线方程为y＝±x 解析：选BD.对于A，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则＋＝1，即－n>m>0，故A错误；对于B，当m＝－n>0时，曲线C表示圆，故B正确；对于C，若m＝－n＝1，满足mn<0，曲线C为x2＋y2＝1，表示圆，故C错误；对于D，若C为双曲线，则mn>0，当时，－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝±x，当时，－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝±x，故D正确．故选BD. 3．(2021·全国甲卷) 已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________. 解析：因为P，Q为C上关于坐标原点对称