5.1 直线与圆（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

第一讲 直线与圆　　　　　► 对应学生用书P63 考点1　直线方程 1．两条直线平行与垂直的判定 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0；l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0. 2．两个距离公式 (1)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(A2＋B2≠0). (2)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝(A2＋B2≠0). 3．点关于直线的对称求解方法 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2). 4．常用结论 (1)点P(x0，y0)，P1(y0＋a，x0－a)关于直线x－y－a＝0对称； 点P(x0，y0)，P2(－y0＋a，－x0＋a)关于直线x＋y－a＝0对称． (2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0. (4)两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 【典例】 (1)(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0 解析：选ABC.当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝a，把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0. 综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0. (2)(多选)已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则(　　) A．l1恒过点(2，－2) B．若l1∥l2，则a2＝ C．若l1⊥l2，则a2＝1 D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限 解析：选BD.l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，可化为a(x＋y)＋x＋2＝0，令解得即直线l1恒过点(－2，2)，故A不正确；若l1∥l2，则有(a＋1)(1－a)＝a2，解得a2＝，代入验证两直线不重合，故B正确；若l1⊥l2，则有a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，故C不正确；若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时，≥0，－≤0，解得0≤a＜1，当1－a＝0时，直线l2：x＝1，也不经过第三象限，综上可知：当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确．故选BD. (3)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－1，－4)，若将军从点A(－1，2)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，则“将军饮马”的最短路程为(　　) A． B． C．2 D．10 解析：选C.如图所示，设点B关于直线x＋y＝3的对称点为C(a，b)， 由题意可得解得 即点C(7，4)，在直线x＋y＝3上取点P，由对称性可得|PB|＝|PC|，所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝2，当且仅当A，P，C三点共线时，等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为2.故选C. (4)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________________． 解析：设点P的坐标为(a，b). ∵A(4，－3)，B(2，－1)， ∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2).而AB所在直线的斜率kAB＝＝－1， ∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0. ∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上， ∴a－b－5＝0.① 又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2， ∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，② 由①②联立解得或∴所求点P的坐标为(1，－4)或. 答案：(1，－4)或 (1)求