5 特色专题（11） 圆锥曲线问题的优化运算策略（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

特色专题(十一)　圆锥曲线问题的优化运算策略　► 对应学生用书P80 【编者按】　圆锥曲线解答题是高考必考题，其中第(2)问往往是通过方程研究曲线的性质．如弦长问题、中点弦问题、定点与定值问题、范围与最值问题、存在性探究题等等．这一问综合性强，运算量较大，对数学运算素养要求较高．如果能根据题目的特征，巧设“点”“线”，设而不求，选用恰当的运算方法，则可合理的简化运算，提升效率和正确率． 策略一　利用圆锥曲线的定义解题 【例1】(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选B.由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B. 和周长，线段之和，面积有关的问题，常直接利用圆锥曲线的定义解决，可有效地优化运算，减少运算量． 策略二　利用平面几何性质解题 【例2】(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由题意，不妨设直线l的方程为y＝k(x＋a)，k>0，分别令x＝－c与x＝0，得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka. 设OE的中点为G， 由△OBG∽△FBM，得＝， 即＝，整理得＝， 故椭圆的离心率e＝，故选A. 利用圆锥曲线的几何性质，构建图形，利用平面几何定理有效地解题，能够合理地减少运算量． 策略三　利用二级结论解题 【例3】(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 解析：选A.设l1，l2的倾斜角分别为α，＋α(或α－)， 则|AB|＝＝，|DE|＝＝， |AB|＋|DE|＝＋＝4(sin2α＋cos2α)＝4(2＋＋)≥4＝16， 当且仅当α＝或时，取得等号，故选A. 在选择、填空题中可直接利用圆锥曲线的二级结论解题，可有效地优化运算，减少运算． 策略四　“设而不求”“同理可得”解题策略 【例4】(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0). (1)证明：k<－. (2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0，证明：2||＝||＋||. 证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0. 由题设知＝1，＝m，于是k＝－. 由题设得＋<1，m>0，所以0<m<，故k<－. (2)由题意得F(1，0).设P(x3，y3)，则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0，0). 由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0. 又点P在C上，所以m＝，从而P，||＝. 于是||＝＝＝2－.同理||＝2－. 所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3. 故2||＝||＋||. (1)根据运算式的形式特点，运用整体思维进行运算，构造所求量，可减少运算量． (2)当运算过程中环节完全相同时，可以用替换字母的方式，“同理可得”减少运算量． 策略五　“反设直线”解题策略 【例5】抛物线y2＝x，直线AB与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB过点(2，0)，设M(2，－1)，若kAMkBM＝－，则直线AB的方程为________________． 解析：设直线AB的方程为x＝ty＋2， A(ty1＋2，y1)，B(ty2＋2，y2)， 联立AB与抛物线，得 消去x得：y2－ty－2＝0，则 kAM·kBM＝·＝＝， 所以＝－，解得t＝2. 所以