4.2 概率、随机变量及其分布列（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

第二讲 概率、随机变量及其分布列　► 对应学生用书P52 考点1　概率 1．古典概型的概率公式 P(A)＝. 2．条件概率公式 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则P(B|A)＝. 3．全概率公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝. 【典例】(1)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6＝36种， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有A＝30种，则其概率为＝. (2)(多选)甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2，A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则(　　) A．A1，A2，A3两两互斥 B．P(B|A2)＝ C．P(B)＝ D．B与A1相互独立 解析：选AB.A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，A正确；P(B|A2)＝＝＝，B正确；P(A1)＝，P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，C错误；又P(A1B)＝×＝，P(A1)P(B)＝×＝，∴P(A1B)≠P(A1)·P(B)，∴A1与B不相互独立，D错误． (3)(2023·湖南湘潭模拟)设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5 nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙两线生产的芯片分别为12块、8块，且乙线生产该芯片的次品率为.现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲线生产该芯片的次品率为(　　) A． B． C． 解析：选B.设A1，A2分别表示取得的这块芯片是由甲、乙线生产的，B表示取得的芯片为次品，甲线生产该芯片的次品率为p，则P(A1)＝＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝p，P(B|A2)＝.由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝p＋×＝0.08，解得p＝. 求概率的方法与技巧 (1)古典概型用古典概型概率公式求解． (2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解． (3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解． 1.(2023·安徽江淮十校联考)甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球．先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(　　) A．P(B|A2)＝ B．事件A1与事件B相互独立 C．P(A3|B)＝ D．P(B)＝ 解析：选D.由题意得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A2)＝＝＝，所以A错误； 因为P(B|A1)＝，P(B|A3)＝，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝，所以P(B)P(A1)≠P(BA1)，故事件A1与事件B不相互独立，所以B错误，D正确； P(A3|B)＝＝＝＝，所以C错误． 2．(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y). 解：(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi， 所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，则 P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1