4.1 统计与成对数据的分析（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

第一讲 统计与成对数据的分析　► 对应学生用书P44 考点1　用样本估计总体 1．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 2．百分位数定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 3．标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． (2)标准差： s＝ . (3)方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2](xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数). 【典例】 (1)某排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛，以下为根据该排球社50名同学的垫球数所作的频率分布直方图，所有同学垫球数都在10～60之间(不包含10和60)，则这50名同学垫球数的80%分位数是(　　) A．47.5 B．42.5 C．40 D．45 解析：选D.垫球数在(10，20)内的人数为0.01×10×50＝5，占总人数的10%； 垫球数在[20，30)内的人数为0.02×10×50＝10，占总人数的20%； 垫球数在[30，40)内的人数为0.04×10×50＝20，占总人数的40%； 垫球数在[40，50)内的人数为0.02×10×50＝10，占总人数的20%； 垫球数在[50，60)内的人数为0.01×10×50＝5，占总人数的10%. 因此80%分位数位于[40，50)内，由40＋10×＝45，可知这50名同学垫球数的80%分位数是45. (2)(多选)某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1 000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是(　　) A．图中的x值为0.020 B．这组数据的极差为50 C．得分在80分及以上的人数为400 D．这组数据的平均数的估计值为77 解析：选ACD.由(0.005＋x＋0.035＋0.030＋0.010)×10＝1，解得x＝0.020，故选项A正确； 频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项B不正确； 得分在80分及以上的人数的频率为(0.030＋0.010)×10＝0.4，故人数为1 000×0.4＝400，故选项C正确； 这组数据的平均数的估计值为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝77，故选项D正确． (3)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　 ) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 解析：选BD.对于选项A：设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n， 则n－m＝－＝，因为没有确定2(x1＋x6)与x5＋x2＋x3＋x4的大小关系，所以无法判断m，n的大小，故A错误； 对于选项B：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为，故B正确； 对于选项C：因为x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差， 例如：2，4，6，8，10，12，则平均数n＝(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝7， 标准差s1＝ ＝， 4，6，8，10，则平均数m＝(4＋6＋8＋10)＝7， 标准差s2＝＝， 显然＞5，即s1>s2，故C错误； 对于选项D：不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确． 用样本的数字特征估计总体步骤 ①确定样本． ②求样本的平均数、众数、中位数、方差(标准差). ③由数字分析样本、估计总体． 1.地摊经济既体现了一座城市的烟火气，也是城市综合治理能力与治理水平的一个刻度与窗口．图①，图②分别表示某市各区地摊的摊位数和食品摊位比例，现用分层随机抽样的方法抽取5%的摊位进行调查，则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数分别为(　　)