4 特色专题（9） 概率统计中的决策模型（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

特色专题(九)　概率统计中的决策模型　► 对应学生用书P58 【编者按】　以概率统计为背景的优化决策问题是近几年高考的热点，多考查数字特征如平均值、方差等的大小问题，最值问题，随机事件的概率是否在一定的范围中，正态分布中的“3­σ”原则的应用等． 题型一　利用期望决策方案模型 【例1】(2023·福建福州质检)某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加n(n∈N*，且n≥2)次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个： 方案①，若中奖则得30分，否则得0分； 方案②，若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分． 第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束． (1)如果n＝2，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由． (2)记顾客甲第i次获得的积分为Xi(i＝1，2，…，n)，并且选择方案②.请直接写出E(Xi＋1)与E(Xi)的递推关系式，并求E(X8)的值．(精确到0.1) 参考数据：()7≈0.059. 解：(1)若顾客第2次抽奖选方案①，记两次抽奖累计积分为ξ，则ξ的所有可能取值为40，35，10，5. 则P(ξ＝40)＝×＝，P(ξ＝35)＝×＝，P(ξ＝10)＝×＝，P(ξ＝5)＝×＝， 所以E(ξ)＝×40＋×35＋×10＋×5＝＋＋＋＝＝. 若顾客甲第2次抽奖选方案②，记两次抽奖累计积分为η，则η的所有可能取值为30，15，10. 则P(η＝30)＝×＝，P(η＝15)＝×＋×＝，P(η＝10)＝×＝， 所以E(η)＝×30＋×15＋×10＝＋＋＝. 因为E(ξ)>E(η)，所以顾客甲应选择方案①. (2)依题意得E(Xi＋1)＝×2E(Xi)＋×5＝E(Xi)＋. 由E(Xi＋1)＝E(Xi)＋，得E(Xi＋1)－10＝[E(Xi)－10]， X1的所有可能取值为10，5，其分布列为 X1 10 5 P 所以E(X1)＝，则E(X1)－10＝－， 所以{E(Xi)－10}为等比数列，其首项为－，公比为. 所以E(X8)－10＝－×()7， 所以E(X8)＝－×()7＋10≈9.8. 通过期望值的比较决策方案时，注意题中条件要求． 【对点练】 1.(2023·九江模拟)瑞昌剪纸被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准． (1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数均值为参考，试预测该同学能否进入决赛？ 解：(1)由题可知，所有可能的情况如下， ①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率P1＝＝， ②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率P2＝＝， ③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率P3＝＝， 故所求概率P＝＋＋＝. (2)设强化训练后，规定作品入选的概率为p1，创意作品入选的概率为p2， 则p1＋p2＝＋＋＝， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为 P＝Cp1(1－p1)·Cp＋Cp·Cp2(1－p2)＋Cp·Cp＝2p1p2(p1＋p2)－3(p1p2)2 ＝3p1p2－3(p1p2)2， ∵p1＋p2＝，且p1≥，P2≥，即－P2≥，－p1≥，即p2≤，p1≤， 故可得≤p1≤，≤p2≤，p1p2＝p1(－p1)＝－(p1－)2＋， ∴p1p2∈，令p1p2＝t， 则P(t)＝－3t2＋3t＝－3(t－)2＋在上单调递减， ∴P(t)≤P()＝－3×()2＋<. ∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X～B(5，P)， ∴E(X)＝5P<5×＝<4，故该同学没有希望进入决赛． 题型二　利用方差决策方案模型 【例2】(2023·湖北荆州沙市中学9月月考改编)我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为0.5，收益率为－10%的概率也为0.5；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为0.4，收益率为－20%的概率为0.1，收