4 特色专题（8） 非线性回归问题（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

特色专题(八)　非线性回归问题　► 对应学生用书P50 【编者按】　有些回归分析不一定适合用线性回归分析刻画、分析，也许更适合用非线性回归分析解决问题，有些非线性回归分析问题并不给出经验公式，这时需要可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量进行变换，把问题化为线性回归问题． 题型一　与y＝a＋b相关的问题 【例1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近年8年的宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，＝. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝a＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. 解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型． (2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程． 由于＝＝＝68， ＝－＝563－68×6.8＝100.6， 所以y关于w的线性回归议程＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68. (3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6， 年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 与y＝a＋b相关的非线性回归问题，常用换元法设t＝，转化为y＝a＋bt类型的线性回归问题处理． 【对点练】 1.某私营业主为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解月宣传费x(单位：百元)对月销售量y(单位：t)和月利润z(单位：百元)的影响，对8个月的宣传费xi和销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值． 5.4 563 2.2 63.88 3.7 645.188 151.7 (1)根据散点图判断y＝c＋d适宜作为月销售量y关于月宣传费x的回归方程类型，求y关于x的回归方程；(表中ωi＝) (2)已知这种产品的月利润z与x，y的关系为z＝2y－x，根据(1)的结果，当月宣传费x＝16(百元)时，求月利润的预测值． 解：(1)令ω＝，先建立y关于ω的经验回归方程＝ω＋，＝＝＝41，＝－＝563－41×2.2＝472.8，则y关于ω的回归方程为y＝41ω＋472.8，即y关于x的回归方程为y＝41＋472.8. (2)当x＝16时，月销售量y＝41×4＋472.8＝636.8(t)，则该月利润的预测值为z＝2×636.8－16＝1 257.6(百元). 题型二　与y＝a＋b ln x相关的问题 【例2】(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x 解析：选D.根据题中散点图可知，散点大致分布在某一条“对数型”函数曲线的周围，而A选项是“直线型”的拟合函数，B选项是“抛物线型”的拟合函数，C选项是“指数型”的拟合函数，只有D选项的拟合函数更符合． 适用于函数模型y＝a＋b ln x的回归问题，常常结合散点图进行判断处理，如果要求系数a、b，大都用换元法转化为线性回归问题解决． 题型三　与y＝a＋bex相关的问题 【例3】 已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关．现收集了一只该品种昆虫的产卵