2.3 数列中最值、范围及不等式证明（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

第三讲 数列中最值、范围及不等式证明　► 对应学生用书P21 考点1　数列中最值、范围问题 角度1　求数列和式的最值、范围　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】(2022·全国甲卷)记Sn为数列的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1)证明：因为＋n＝2an＋1， 即2Sn＋n2＝2nan＋n，① 当n≥2时，2Sn－1＋＝2an－1＋，② ①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－＝2nan＋n－2an－1－， 即2an＋2n－1＝2nan－2an－1＋1， 即2an－2an－1＝2， 所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*， 所以是以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8， 又a4，a7，a9成等比数列，所以a＝a4·a9， 即＝·，解得a1＝－12， 所以an＝n－13，所以Sn＝－12n＋＝n2－n＝－， 所以，当n＝12或n＝13时，＝－78. 求解和式最值常用的方法： (1)利用不等式组(n≥2)确定和式的最大值； 利用不等式组(n≥2)确定和式的最小值． (2)利用和式的单调性． (3)把数列的和式看作函数求其最值、值域． 【对点练】 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且a1＋a6＝a4，S6＝9，数列{bn}满足b1＝2，bn－bn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn，并求Tn的最小值． 解：(1)由S6＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)＝3a4＝9，得a4＝3，a3＝0， 故数列{an}的公差d＝3，an＝a3＋(n－3)d＝3n－9， 即数列{an}的通项公式为an＝3n－9(n∈N*). 当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋2＝2n， 而b1＝2，故bn＝2n，即数列{bn}的通项公式为bn＝2n(n∈N*). (2)Tn＝－6×2－3×22＋…＋(3n－12)×2n－1＋(3n－9)×2n， 2Tn＝－6×22－3×23＋…＋(3n－12)×2n＋(3n－9)×2n＋1. 上述两式相减得－Tn＝－12＋3×22＋…＋3×2n－(3n－9)×2n＋1＝－12＋3×－(3n－9)×2n＋1＝－24－(3n－12)×2n＋1， 故Tn＝(3n－12)×2n＋1＋24(n∈N*). 设cn＝(3n－12)×2n＋1，显然当n≥4时，cn≥0，Tn≥24且单调递增， 而c1＝－36，c2＝－48，c3＝－48， 故Tn的最小值为T2＝T3＝－24. 角度2　求n的最值或范围 【例2】(2023·绵阳二诊)已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，a＝an(an＋1＋2an). (1)证明：数列{an}为等比数列，并求通项公式； (2)若数列{an}的前n项和为Sn，且S2n>an，求n的最小值． 解：(1)证明：∵a＝an(an＋1＋2an)， ∴a－anan＋1－2a＝(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0， 又数列{an}各项均为正数，∴an＋1＋an>0， ∴an＋1－2an＝0，即＝2， ∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)∵Sn＝＝＝2n－1，∴S2n＝22n－1. ∵S2n>an，∴9(22n－1)>80×2n，即(9×2n＋1)(2n－9)>0， ∴2n－9>0，又n∈N*，∴正整数n的最小值为4. 求n的最值或范围一般转化为解关于n的不等式问题． 【对点练】 2.(2023·广东广州模拟改编)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，a2＋a5＝4.若Sn≥4an＋8(n∈N*)，求n的最小值． 解：设等差数列{an}的公差为d， ∵a1＝，a2＋a5＝4，∴＋d＋＋4d＝4，解得d＝， ∴an＝n－，Sn＝·n＝， ∵Sn≥4an＋8，∴≥4＋8，解得n≤－2(舍去)或n≥10， 由n∈N*可知，n的最小值为10. 角度3　求数列中相关参数的最值或范围 【例3】(2023·安徽六安一中模拟改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn ＋n＋1＝an＋1(n∈N*)，数列的前n项和为Tn.若不等式Tn＋≥m－恒成立，求实数m的取值范围． 解：当n＝1时，由S1＋2＝a2及a1＝1，解得a2＝3. 由Sn＋n＋1＝an＋1，① 可得当n≥2时，Sn－1＋n＝an，② ①－②得an＋1＝an＋1－an， 即an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)，其中n≥2且n∈N*. 当n＝1时，a2