2.2 数列求和（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

第二讲 数列求和　　　　　► 对应学生用书P18 考点1　分组转化法求和 1．有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． 2．分组转化法求和的常见类型 (1)一般地，形如{an±bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列求其前n项和采用分组转化法． (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． 【典例】(2023·深圳调研)已知等比数列{an}中，a1＝1，且2a2是a3和4a1的等差中项．等差数列{bn}满足b1＝1，b7＝13. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an－bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得2×2a2＝a3＋4a1， 即4a1q＝a1q2＋4a1， 又a1＝1，所以q＝2， 则数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*). (2)设数列{bn}的公差为d，由题意可得b7－b1＝12＝6d，即d＝2， 则数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1， an－bn＝2n－1－(2n－1)， 则Tn＝(20－1)＋(21－3)＋…＋[2n－1－(2n－1)]＝(20＋21＋…＋2n－1)－(1＋3＋…＋2n－1)＝－＝2n－1－n2(n∈N*). 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组转化法求和时，若数列的各项是正负交替的，一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式． (2023·湖南长沙雅礼中学质检)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋2(n≥2，n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由题意得Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2(n≥2)，即an＋1－an＝2(n≥2)，又a2－a1＝3－1＝2， 所以aa＋1－an＝2(n∈N*)， 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1(n∈N*). (2)bn＝an＋2an＝2n－1＋22n－1＝2n－1＋·4n， 所以Tn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋×(4＋42＋43＋…＋4n)＝n2＋. 考点2　裂项相消法求和 1．裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于形如或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和． 2．常用的裂项公式 (1)若{an}是等差数列，则＝(－)，＝； (2)＝－，＝(－)； (3)＝； (4)＝[－]； (5)＝－，＝(－)； (6)＝－； (7)＝－； (8)＝(－1)n. 【典例】(2023·广东梅州二模)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，________． ①∀n∈N*，an＋an＋1＝4n；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并解答． (1)求an； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)选条件①：由∀n∈N*，an＋an＋1＝4n，得an＋1＋an＋2＝4(n＋1)， 所以an＋2－an＝4(n＋1)－4n＝4， 即数列{a2k－1}，{a2k}(k∈N*)均为公差为4的等差数列， 于是a2k－1＝a1＋4(k－1)＝4k－3＝2(2k－1)－1，又a1＋a2＝4，所以a2＝3，a2k＝a2＋4(k－1)＝4k－1＝2·(2k)－1， 所以an＝2n－1. 选条件②：由数列为等差数列，且的前3项和为6，得＋＋＝3×＝6，所以＝2， 所以的公差为d＝－＝2－1＝1， ＝1＋(n－1)＝n，则Sn＝n2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又a1＝1满足an＝2n－1，所以对任意的n∈N*，an＝2n－1. (2)因为bn＝＝＝， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[－＋－＋…＋－] ＝＝. 裂项相消法求数列{an}的前n项和 (1)基本步骤 (2)消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． (2023·郑州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，4Sn＝an＋1an＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足anbnan＋1＝(－1)nn，求{bn}的前2k项和T2k(k∈N*). 解：(1)因为a1＝1，4Sn＝an＋1an＋1， 当n＝1时，4S1＝a2a1＋1，解得a2＝3， 当n≥