2 特色专题（4） 简单的递推数列（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

特色专题(四)　简单的递推数列　► 对应学生用书P24 【编者按】　数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用． 题型一　利用an与Sn的关系 【例1】已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，而bn＝k∈N*， 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 于是解得故an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3. (2)法一　由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*， 当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1， Tn＝·＝n2＋n， 当n＞5时，Tn－Sn＝－＝n(n－1)＞0，因此Tn＞Sn； 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－＝n2＋n－5， 当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)＞0，因此Tn＞Sn. 综上，当n＞5时，Tn＞Sn. 法二　由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*， 当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝·＋·＝n2＋n， 当n＞5时，Tn－Sn＝－＝n(n－1)＞0，因此Tn＞Sn； 当n为奇数时，若n≥3，则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝·＋·＝n2＋n－5，显然T1＝b1＝－1满足上式，因此当n奇数时，Tn＝n2＋n－5， 当n＞5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)＞0，因此Tn＞Sn. 综上，当n＞5时，Tn＞Sn. 在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an；但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1求出an. 【对点练】 1.(2023·焦作模拟)已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n，则a1＋2a2＋22a3＋…＋22 021a2 022等于(　　) A．2(22 022－1) B．(22 022＋1) C．(24 044－1) D．(24 044＋1) 解析：选C.因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n， 所以当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2(n－1)， 两式相减得an＝2，所以an＝2n(n≥2)， 又a1＝2也适合该式，故an＝2n，所以{an}为等比数列， 所以a1＋2a2＋22a3＋…＋22 021a2 022＝＝(24 044－1). 2．(2023·济宁模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若2anSn＝1＋a，bn＝log2，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn≥3的n的最小正整数的值为__________． 解析：因为2anSn＝1＋a，an>0， 当n＝1时，2a1S1＝1＋a，解得S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即2(Sn－Sn－1)Sn＝1＋(Sn－Sn－1)2，整理得S－S＝1， 所以数列{S}是首项为S＝1，公差为1的等差数列， 所以S＝1＋(n－1)×1＝n，又正项数列{an}的前n项和为Sn， 所以Sn＝，所以Sn＋2＝， 所以bn＝log2＝log2＝log2＝log2＝[log2(n＋2)－log2n]， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝[log23－log21＋log24－log22＋log25－log23＋…＋log2(n＋1)－log2(n－1)＋log2(n＋2)－log2n]＝[－1＋log2(n＋1)＋log2(n＋2)]＝[－1＋log2(n＋1)(n＋2)]， 由Tn≥3，即[－1＋log2(n＋1)(n＋2)]≥3， 化简整理得n2＋3n－126≥0， 当n＝9时，92＋3×9－126＝－18<0，当n＝10时，102＋3×10－126＝4>0， 所以满足Tn≥3的n的最小正整数的值为10. 答案：10 题型二　构造辅助数列 【例2】(1)(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A．为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{a