1.2 三角恒等变换与解三角形（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

第二讲 三角恒等变换与解三角形　► 对应学生用书P7 考点1　三角恒等变换 1．两角和与差的余弦、正弦及正切公式 ①cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； ③sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； ④sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； ⑤tan (α＋β)＝(α≠kπ＋，k∈Z，β≠kπ＋，k∈Z，α＋β≠kπ＋，k∈Z)； ⑥tan (α－β)＝(α≠kπ＋，k∈Z，β≠kπ＋，k∈Z，α－β≠kπ＋，k∈Z)． 2．二倍角公式 ①sin 2α＝2sin αcos α； ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ③tan2α＝(α≠kπ＋，k∈Z，2α≠kπ＋，k∈Z，α≠kπ±，k∈Z). 3．辅助角公式 a cosx＋b sin x＝(cos x＋sin x)， 令sin θ＝，cos θ＝， ∴a cos x＋b sin x＝sin (x＋θ)，其中θ为辅助角，tan θ＝. 4．降幂公式 ①sin2α＝； ②cos2α＝； ③sin αcos α＝sin 2α. 【典例】 (1)(多选)下列等式成立的是(　　) A．sin 40°＋cos 40°＝sin 70° B．＝1 C．sin 10°sin 50°cos 20°＝ D．tan 255°＝2＋ 解析：选BCD.对于A，sin 40°＋cos 40°＝sin (40°＋60°)＝sin 100°＝sin 80°≠sin 70°，故A错误； 对于B，＝＝＝＝1，故B正确； 对于C，sin 10°sin 50°cos 20°＝sin 10°cos 40°cos 20°＝＝＝＝＝＝，故C正确； 对于D，tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝＝＝2＋，故D正确． 故选BCD. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角，解得sin＝＝＝. 三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数，有时虽不能转化为特殊角，但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消达到化简求值的目的； (2)“给值求值”：关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系； (3)“给值求角”：关键也是“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 1.(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D. － 解析：选B.因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos (2α＋2β)＝cos [2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝. 2．已知sin(2θ－)＝－，θ∈(0，)，则sin (θ＋)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.∵θ∈(0，)，∴2θ－∈(－，). 又sin (2θ－)＝－<0，∴2θ－∈(－，0)， ∴cos (2θ－)＝＝. sin[2(θ＋)]＝sin (2θ＋)＝sin (2θ－＋)＝cos (2θ－)＝. ∵sin [2(θ＋)]＝2sin (θ＋)·cos (θ＋)＝，2θ－∈(－，0)， ∴θ∈(0，)，θ＋∈(，)，sin (θ＋)·＝， 又sin(θ＋)∈(，)，∴sin (θ＋)＝.故选B. 考点2　正弦定理、余弦定理 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径). 变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝. 3．三角形的面积公式：S＝ab sin