1 特色专题（3） 奔驰定理、三角形四心（Word讲义）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

特色专题(三)　奔驰定理、三角形四心　► 对应学生用书P11 题型一　利用“奔驰定理”解决与三角形面积比有关的问题 已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝0(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)，则有 (1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|； (2)＝||，＝||，＝||． 【例1】 (1)已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C.法一(通法)　延长CO到点M(图略)，使得＝－， 因为＋2＋m＝0，所以－＝＋，即＝＋， 所以A，B，M三点共线， 又因为与反向共线，所以＝， 所以＝＝＝.解得m＝4. 法二(奔驰定理法)　由奔驰定理得S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， 又＋2＋m＝0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m. ∴＝＝⇒m＝4. (2)已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　) A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 解析：选B.法一(通法)　∵＝， ∴以PQ为底的△PQR与△PQB的高之比为1∶3， ∴S△PQB＝3S△PQR，即S△PRB＝2S△PQR， ∵以BR为底的△PBR与△BCR的高之比为1∶3， ∴S△BCR＝3S△PBR＝6S△PQR， ∴S△PBC＝2S△PBR＝4S△PQR， 同理可得S△ACP＝S△ABQ＝6S△PQR， 所以＝＝＝. 法二(奔驰定理法)　由＝，得－＝(－)， 整理得＝＋＝＋， 由＝，得＝(－)，整理得＝－， ∴－＝＋，整理得4＋6＋9＝0， ∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4. 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比． 【对点练】 1.设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________． 解析：法一(通法)　∵D为AB的中点， 则＝(＋)， 又＋＋2＝0，∴＝－，∴O为CD的中点． 又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4. 法二(奔驰定理法)　因为＋＋2＝0， 根据奔驰定理，所以＝＝4. 答案：4 题型二　与三角形四心有关的问题 (1)O是△ABC的重心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1⇔＋＋＝0. (2)O是△ABC的内心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c⇔a＋b＋c＝0. (3)O是△ABC的外心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C⇔sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0. (4)O是△ABC的垂心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tan A∶tan B∶tan C⇔tan A·＋tan B·＋tan C·＝0. 【例2】 (1)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若＝λ＋μ，则3λ＋6μ的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.＝λ＋μ可化为＋λ－λ＋μ－μ＝0， 整理得(1－λ)＋(λ－μ)＋μ＝0， 所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝，μ＝， 所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3. (2)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，＝，＝n，则n的值为________． 解析：如图，因为O是重心， 所以＋＋＝0， 即＝－－， ＝⇒－＝(－)⇒＝＋＝－－. ＝n⇒－＝n(－)⇒＝n＋(1－n)， 因为P，O，Q三点共线，所以∥， 所以－(1－n)＝－n， 解得n＝. 答案： 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件． 【对点练】 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若a＋b＋c＝0，则A＝________． 解析：由G是△ABC的重心，得＝－－， 因此a＋b＋c(－－)＝(a－c)＋(b－c)＝0， 又，不共线，所以a－c＝b－c＝0，即a＝b＝c， 由余弦定理得cos A＝＝，又0<A<π，故A＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$