2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点 (1)求A，B，C三点坐标． (2)求证：∠ACB=90° (3)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．求DE+BF的最大值． 2．如图，抛物线的顶点E的横坐标为1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)证明：； (3)是否存在点，使点到A，B，C，D的距离都相等，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)设抛物线与直线另一交点为Q，F为线段上一点（不含端点），连接，一动点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到Q后停止，当点F的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？（直接写出答案） 3．在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点的坐标为，点的坐标为，顶点在第一象限内，抛物线（常数）的顶点为正方形对角线上一动点． （1）当抛物线经过两点时，求抛物线的解析式； （2）若抛物线与直线相交于另一点（非抛物线顶点，且在第一象限内），求证：长是定值； （3）根据（2）的结论，取的中点，求的最小值． 4．已知二次函数和一次函数． （1）求证：二次函数图象的顶点必在一次函数的图象上； （2）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标（用含的代数式表示）； （3）已知，直线交二次函数的图象于点，交一次函数的图象于点，当时，求证：． 5．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，连接，，点D在抛物线上一点． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)连接，如图1，若平分，求点D的坐标； (3)如图2，若点D是线段的下方抛物线上一点，过点D作于点E，求的最大值． 6．概念生成：定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1，经过点A，并与点A的对边相切于点，则该就叫做的切接圆，根据上述定义解决下列问题：    (1)已知，中，． ①如图2，若点在边上，，以为圆心，长为半径作圆，则是的“切接圆”吗？请说明理由． ②在图3中，若点在的边上，以为圆心，长为半径作圆，当是的“切接圆”时，则的半径（直接写出答案）． (2)如图4，在中，．试说明：以抛物线图像上任意一点为圆心，长为半径作圆，是的“切接圆”． 7．已知抛物线的顶点为，与y轴交于点，点为其对称轴上的一个定点． (1)求这条抛物线的函数解析式； (2)已知直线l是过点且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点到直线l的距离为d，求证：； (3)已知坐标平面内的点，请在抛物线上找一点Q，使的周长最小，并求此时周长的最小值及点Q的坐标． 8．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)在(2)的条件下，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线经过、两点（点在点的左侧），与轴交于点，，． (1)如图1，求此抛物线的表达式； (2)如图2，直线经过点，交于点，点为线段的中点，过点作轴于点，作于点，连结、． ①求证：是等腰直角三角形； ②当的周长最小时，求直线的表达式． 10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点    （1）求A点和点B的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是x轴上的一个动点，当MD+MC的值最小时，求点M的坐标． 11．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线的顶点为点A． （1）求顶点A的坐标（用含a的代数式表示）； （2）直线与抛物线G交于点M，N，若顶点A在第一象限，且点A到直线l距离的最大值为，求抛物线G的表达式； （3）在（2）的条件下，若过M，N两点分别作直线的垂线，垂足分别为点P和点Q，求证：． 12．抛物线经过、两点，且，直线过点，，点是线段（不含端点）上的动点，过作轴交抛物线于点，连接、． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)求证：为定值； (3)在第四象限内是否存在一点，使得以、、、为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，交轴于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在直线上方的抛物线上，作轴，交线段于点，作轴，交抛物线于另一点，若，求点的坐标； (3)如图，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与，轴交于，两点，与新抛物线交于、两点，作线段的垂直平分线，交直线于点，交轴于点