2024年中考数学高频考点突破——圆的综合

2024年中考数学高频考点突破——圆的综合 1．如图，在中，是直径，点C是的中点，过点C作于点E，连接，交于点F，在的延长线上取一点P，使，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 2．如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点．过点作，交的延长线于点．连接，，当与相切于点时．    (1)求证：； (2)若，求，与围成阴影部分的面积． 3．如图，在中，直径弦，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，作弦交于点E，交于点G，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，求的半径． 4．如图，、分别是的直径和弦，于点D．过点A作的切线与的延长线交于点P，、的延长线交于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 5．水车又称孔明车，是我国古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．一般的水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成的．如图是半径为的水车灌田的示意图，立式水轮在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽流到田地，与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上，与相切，若点P到点C的距离为32米．连接，．请解答下列问题．    (1)求证：； (2)连接，若，求水槽的长度． 6．在扇形中，半径，点在上，连接，将沿折叠得到．      (1)如图1，若，且与弧所在的圆相切于点．求的长． (2)如图2，与相交于点，若点为的中点，且，求的长． 7．如图，是的直径，D是的中点，于E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 8．如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对于当时的生产力），包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服，如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．    (1)求证； (2)若米，米，求车轮的半径． 9．如图，是直径，弦于E，点F在上，且，连接，BC．    (1)求证：； (2)延长到P，使，作直线．如果．求证：直线为的切线． 10．如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以为直径的交y轴于C，D两点，C为的中点，弦交y轴于点F，且点A的坐标为，． (1)求的半径； (2)动点P在的圆周上运动，连接，交于点N． ①如图1，当平分时，求的值； ②如图2，过点D作的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由． 11．【问题情境】 （1）爱探究的小明在做数学题时遇到这样一个问题：如图，是的直径，是上的一动点，若，则面积的最大值为 ．请帮小明直接填空； 【模型归纳】 （2）小明在完成填空后，对上面问题中模型进行如下归纳：如图，是的弦，是优弧上的一动点，过点作于点，当且仅当经过圆心时，最大．请帮助小明完成这个结论的证明； 【模型应用】 （3）如图是四边形休闲区域设计示意图，已知，，休闲区域内原有一条笔直小路的长为米，现为了市民在该区域内散步方便，准备再修一条长为米的小路，满足点在边上，点在小路上．按设计要求需要给图中阴影区域（即与四边形，小路宽度忽略不计）种植花卉，为了节约成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小．请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，请直接写出阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由． 12．已知如图，二次函数的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O. （1）求B点的坐标及二次函数的解析式； （2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围； （3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上，求出旋转中心P的坐标. 13．如图1，在中，，点M，N分别为边，的中点，连接． 初步尝试：（1）与的数量关系是 　 ，与的位置关系是 　 　． 特例研讨：（2）如图2，若， ，先将绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到，当点A，E，F在同一直线上时，与相交于点D，连接． ①求的度数； ②求的长． 深入探究：（3）若，将绕点B顺时针旋转α，得到，连接，．当旋转角α满足，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．    14．已知四边形为的内接四边形，直径与对角线相交于点，作于，与过点的直线相交于点，.    （1）求证：为的切线； （2）若平分，求证：； （3）在（2）的条件下，为的中点，连接，若，的半径为，求的长. 15．问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下