2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数与最值

2024年中考数学高频压轴题训练 二次函数与最值 1．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式与点坐标； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点是线段上的一个动点，作轴交反比例函数的图象于点，则的面积的最大值为______． 2．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 3．如图，在中，，，，如果点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为，连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)用含的代数式表示______，______； (2)设的面积为，当为何值时，取得最大值，的最大值是多少？ (3)如图，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形是菱形时，求的值． 4．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4,与y轴交于点C，且过点(2,3)． （1）求此二次函数的表达式； （2）若抛物线的顶点为D,连接CD、CB,问抛物线上是否存在点P,使得∠PBC+∠BDC=90°. 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点K抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由 5．抛物线交轴于两点，交轴于点，对称轴为直线．且A、C两点的坐标分别为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线C1：y=a(x-2)2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是-1． (1) 求p点坐标及a的值； (2) 如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向左平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C3的解析式； (3) 如图（2），点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标． 7．已知二次函数的图象与x轴交于点、点B，与y轴交于点C． (1)求此二次函数的解析式及点B的坐标； (2)点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作交于点Q，将四边形沿翻折，得到四边形，设点P的运动时间为t． ①当t为何值时，点 恰好落在二次函数的图象的对称轴上； ②设四边形落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出当t为何值时S的值最大． 8．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为． ⑴求这个抛物线的解析式； ⑵在抛物线的对称轴上是否存在一点，使点到A、C两点间的距离之和最大．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如果在轴上方平行于轴的一条直线交抛物线于两点，以为直径作圆恰好与轴相切，求此圆的直径． 9．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点A(－2，0)、与y轴的交点为B(0，4)，且其对称轴与y轴平行． 1. 求该二次函数的解析式，并在所给坐标系中画出它的大致图象； 2.在二次函数位于A、B两点之间的图象上取一点M，过点M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、D．求矩形MCOD的周长的最小值和此时的点M的坐标． 10．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连接AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C． （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2）两个动点P、Q分别从O、A同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段OA向A点运动，点Q沿着线段AB向B点运动. 设这两个动点运动的时间为（秒) (0＜≤2)，△PQA的面积记为S. ① 求S与的函数关系式； ② 当为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状； （3）是否存在这样的值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. 11．如图，已知二次函数的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，