2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数与特殊三角形

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数与特殊三角形 1．如图，抛物线经过A、B、C三点，点、，点B在y轴上．点P是直线下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线于点E，动点P在什么位置时，最大，求出此时P点的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上一动点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出点Q坐标． 2．如图二次函数的图像与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为，与y轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式，点B的坐标是 ． (2)在x轴是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由； 3．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接．    (1)求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴； (2)若已知x轴上一点，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线与轴交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点的直线：与抛物线的另一个交点为点，点是抛物线对称轴上的一点，连接，，当时，求点坐标． 5．抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标； (3)过点作于点，， ①求点的坐标； ②连接，在y轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接BC，P为线段BC上的一个动点不与B，C重合），过点P作轴，交抛物线于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)连接CD，BD，CF，BF，当的面积等于的面积时（点与点不重合），求点的坐标； (4)在（3）的条件下，在轴上是否存在点，使为等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，二次函数的图象经过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)第一象限内的二次函数图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当S△PCD=3时，求出点P的坐标； (3)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，连接AF交y轴于点E，OC＝5OA． (1)求抛物线的表达式； (2)求△CEF的面积； (3)在直线AF上是否存在点P，使△CFP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说理理由． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A的坐标； (2)如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为，△AEO的面积为，求的最大值及此时点D的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线的顶点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标． 10．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 11．如图，已知抛物线过点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E (1)直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的动点，连接，点P落在坐标平面内的点处，将沿所在的直线对折．求当点恰好落在直线上时点P的横坐标． 12．如图，已知抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，且与x轴交于A，B两点，C为第四象限抛物线上一动点，连接，作轴于D，设C点横坐标为m．    (1)求A、B两点坐标； (2)求的最大值； (3)当时， ①在抛物线上找一点N，使的内心在x轴上，求点N的坐标； ②M是抛物线对称轴上一动点，在①的条件下，是否存在点M，使是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点M