河北省部分学校2023-2024学年高三上学期摸底考试数学试题

2023——2024 学年河北省部分学校高三摸底考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ） A B. C. D. 5. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 7. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ） A. B. C. D. 8. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A. B. C. D. 10. 已知二项展开式，下列说法正确的有（ ） A. 的展开式中的常数项是 B. 的展开式中的各项系数之和为 C. 的展开式中的二项式系数最大值是 D. ，其中为虚数单位 11. 在中，若，则（ ） A. 对任意的，都有 B. 对任意的，都有 C. 存在，使成立 D. 存在，使成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则__________. 13. 定义两个点集S、T之间距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______. 14. 已知，过点倾斜角为的直线交于、两点（在第一象限内），过点作轴，垂足为，现将所在平面以轴为翻折轴向纸面外翻折，使得，则几何体外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最大值． 16. 设为数列前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）令，为数列的前项积，证明：. 17. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记为试验结束时所进行的试验次数，的数学期望为． （1）证明：； （2）某公司意向投资该产品，若，每次试验的成本为元，若试验成功则获利元，则该公司应如何决策投资？请说明理由． 18. 已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质；（直接写出结论） （2）已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：. 2023——2024 学年河北省部分学校高三摸底考试 数学 一、选择题：本题共8小题，