第22讲 与圆有关的位置关系-备考2024年中考数学一轮复习高频考点精讲与热点题型精练（浙江专用）

第22讲　与圆有关的位置关系 考纲要求 命题趋势 1．探索并了解点和圆、直线和圆的位置关系． 2．知道三角形的内心和外心． 3．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线． 　　直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题、填空题中．中考考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查． 一、点与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系 点在圆上，点在圆内，点在圆外． 2．点和圆的位置关系的判断 如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外⇔ d>r ；点在圆上⇔ d=r ；点在圆内⇔ d<r ． 3．过三点的圆 （1）经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆． （2）三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 二、直线与圆的位置关系 1．直线和圆的位置关系 相切、相离、相交． 2．概念 （1）直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；（2）直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离． 3．直线和圆的位置关系的判断 如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交⇔ d<r ；直线l和⊙O相切⇔ d=r ；直线l和⊙O相离⇔ d>r ． 三、切线的判定和性质 1．切线的判定方法 （1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． 2．切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 3．切线长定理 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 四、三角形（多边形）的内切圆 1．与三角形（多边形）内切圆有关的一些概念 （1）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的内接三角形； （2）和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 2．三角形的内心的性质 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部． 1．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．那么下列说法中不正确的是（　　） A．当a＜1时，点B在⊙A外 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜5时，点B在⊙A内 D．当a＞5时，点B在⊙A外 2．如图，正方形ABCD的边长为8．M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为（　　） A．3 B．4 C．3或4 D．不确定 3．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE的周长为　 　． 5．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为　 　． 6．如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD． （1）求证：AB＝BE； （2）若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长． 考点一、点与圆的位置关系 【例1】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（　　） A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内 C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内 方法总结 解答这类题目的关键是运用数形结合的思想，将点与圆的图形位置关系转化为确定点到圆心的距离与半径之间的数量关系． 举一反三 1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（　　） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 2．已知P为⊙O外的一点，P到⊙O上的点的最大距离为6，最小距离为2．若AB为⊙O内一条长为1的弦，则点P到直线AB的距离的最大值为　 　，最小值为　 　． 考点二、切线的性质与判定 【例2】1．如图，直线AB与半径为4的⊙O相切于点C，点D在⊙O上，连接CD，DE，