第21讲 圆的有关性质-备考2024年中考数学一轮复习高频考点精讲与热点题型精练（浙江专用）

第21讲　圆的有关性质 纲要求 命题趋势 1．理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系． 2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论． 3． 了解圆的内接四边形性质及其应用 　　中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用．题型选择题、填空题、解答题都可以考察． 一、圆的有关概念及其对称性 1．圆的定义 （1）圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做圆心，定长叫做半径； （2）平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径． 2．圆的有关概念 （1）连接圆上任意两点的线段叫做弦； （2）圆上任意两点间的长度叫做圆弧，简称弧． （3）半径相等的两个圆是等圆． （4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3．圆的对称性 （1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； （3）圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性． 二、垂径定理及推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3．推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 4．（1）过圆心；（2）平分弦（不是直径）；（3）垂直于弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项． 三、圆心角、弧、弦之间的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2．推论 同圆或等圆中：（1）两个圆心角相等；（2）两条弧相等；（3）两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立． 四、圆心角与圆周角 1．定义 顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫做圆周角． 2．性质 （1）圆心角的度数等于它所对的弧的度数． （2）一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半． （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等． （4）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 五、圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补． 1．如图，把一张圆形纸片折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则所对圆心角的度数是（　　） A．120° B．135° C．150° D．165° 2．如图，⊙O的直径AB，C，D是⊙O上的两点，若∠ADC＝20°，则∠CAB的度数为（　　） A．40° B．80° C．70° D．50° 3．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（　 　） A．2 B．8 C．2 D．2 4．如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（　 　） A．55° B．60° C．65° D．70° 5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x﹣y）的最大值是（　　） A．2 B． C． D．4﹣4 6．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为　 　． 7．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是　 　． 8．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，连接EC交△ABC的外接圆于点D，连接AD、BD． （1）求证：AD平分∠BDE； （2）若∠BAC＝30°，AE＝AB，BC＝2，求CD的长． 考点一、垂径定理及推论 【例1】1．在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（　　） A．1分米 B．4分米 C．3分米 D．1分米或7分米 2．如图所示，AB为圆O的直径，弦CD交AB于E，已知OE＝2，BE＝1，∠AEC＝45°，则CD＝　 　． 3．如图，AB为圆O的直径，弦CD交AB于E，∠AEC＝45°． （1）若CE＝