河南省洛阳市第二高级中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题

河南省洛阳二高2022-2023学年高一下学期4月月考 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V＝×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率的取值为 A. 3 B. 3.14 C. 3.2 D. 3.3 2. 如图，在四边形中，，，，则值为 A B. C. D. 3. 下列说法中说法正确的有（ ） ①零向量与任一向量平行；②若，则；③④；⑤若，则，，为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A. ①④ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ③⑥ 4. 下列命题中，真命题有（ ） ①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等； ②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行； ④，若，，则或. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 过两条异面直线外一定点和这两条直线都平行的平面 A. 有且只有一个 B. 有两个 C. 有一个或不存在 D. 有无穷多个 6. 如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为（塔顶大小和游客身高忽略不计） A B. C. 1 D. 7. 如图所示的水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，且平行于轴，那么，，三条线段对应原图形中线段，，中（　　） A. 最长的是AB，最短的是AC B. 最长的是AC，最短的是AB C. 最长的是AB，最短的是AD D. 最长的是AD，最短的是AC 8. 如图，以为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（ ） A 无最大值，但有最小值 B. 既有最大值，又有最小值 C. 有最大值，但无最小值 D. 既无最大值，又无最小值 二、多选题（每小题5分，共4小题20分） 9. 下列关于复数的命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球的体积不可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 12. 下面关于空间几何体叙述正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 正四棱柱都是长方体 D. 直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13. 在中，点O为BC的中点，过O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N若，则的值为________ 14. 已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论：__________. 15. 如图所示，一力作用在小车上，其中力的大小为，方向与水平面成角，当小车向前运动时，力做的功为__________. 16. 《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字写成公式，即，已知满足，且，则用以上给出的公式求得的面积为______． 四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分） 17. 在中，角的对边分别是，已知向量，，且满足. (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状. 18. 如图，四面体被一平面所截，截面是一个平行四边形.求证：. 19. 在平面直角坐标系中，已知点. （1）求. （2）设实数t满足求t的值. 20. 在中，, （1）若，，将绕直线旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的体积； （2）设是中点，，，求的面积. 21. 如图，在正中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC. 22. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，