2024年中考数学第一轮复习学案; 一元二次方程的应用

一元二次方程的应用 ★★★典例剖析★★★ 考点1： 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 【例1】某图书店在2022年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元. (1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率； (2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）分别求出国庆节的总利润和国庆节后的总利润，根据国庆节后的总利润比国庆节的总利润多1200元列出方程，求出的值即可 【详解】（1）设图书店每次降价的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：商城每次降价的百分率为． （2）根据题意得， 整理得， 解得，，或（舍去） 故的值为 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式练习1】．“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同． (1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？ (2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润． 【答案】(1)该景点在6月份的第二周接待游客为240人；(2)W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元． 【详解】（1）设该景点接待游客数量的周平均增长率为x，根据题意， 得200（1+x）2=288， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去）， ∴该景点接待游客数量的周平均增长率为20%， ∴200（1+20%）=240（人）， ∴该景点在6月份的第二周接待游客为240人； （2）∵该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的1.8倍， ∴该景点第四周接待游客为240×1.8=432（人）， 设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，则该景点售出B种旅游纪念品（432-a）件， 根据题意得：W=5a+8（432-a）=-3a+3456， ∵售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍， ∴432-a≤3a， 解得：a≥108， ∵-3＜0， ∴W随a的增大而减小， ∴当a=108时，W最大，最大值为3132， ∴W与a的函数关系式为W=-3a+3456，最大利润为3132元． 考点2： 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为 【例2】2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”． (1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，今年四月份共生产720个“冰墩墩”，若该工厂平均每月生产量增加的百分率相同，求该工厂这两个月的月平均增长率． (2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 【答案】(1) (2)4元 【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量=该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量该工厂平均每月生产量的增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用总利润=每个的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该工厂平均每月生产量的增长率为x， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：该工厂平均每月生产量的增长率为． （2）解：设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个， 依题意得：， 整理得：0， 解得：，(不符合题意