2024年中考数学第一轮复习 二次函数的图象和性质 学案

2024中考数学第一轮复习 二次函数的图象和性质 核心知识回顾 考点1 二次函数的概念 1.二次函数的定义: 一般地,形如① (a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数解析式的三种形式: (1)一般式:y= ax 2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0); (2)顶点式: (a,h,k是常数,a≠0),顶点坐标为(h,k); (3)交点式:y= a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次函数与x轴的交点的 。 名师提醒 二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的结构特征是:等号左边是函数,右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式,x的 最 高 次 数 是二次,按二次项、一次项和常数项依次排列; 特别注意:二次项系数a≠0。 考点2 二次函数的图象和性质 函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) a a>0 a<0 图象 开口方向 抛物线开口向② ,并向上无限延伸X kB1.cOM 抛物线开口向③ ,并向下无限延伸 对称轴 直线x=- 直线x=-x kb 1 顶点坐标 (-,) (-,) 最值 抛物线有最低点,当x=-时,y有最小值,y最小值= 抛物线有最高点,当x=-时,y有最大值,y最大值= 增减性 在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而④ ;在对称轴的右侧,即当x>- a时,y随x的增大而⑤ ,简记左减右增 在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而⑥ ;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而⑦ ,简记左增右减 【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论. 考点3 二次函数的图象与字母系数的关系 字母或代数式 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向⑧ |a|越大 开口越⑩ a<0 开口向⑨ b b=0 对称轴为⑪ 轴 ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴⑫ 侧 ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴⑬ 侧 c c=0 经过⑭ c>0 与y轴⑮ 半轴相交 c<0 与y轴⑯ 半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有 交点(顶点) b2-4ac>0 与x轴有 不同交点 b2-4ac<0 与x轴 交点 特殊关系 当x=1时,y= 当x=-1时,y= 若a+b+c>0,即当x=1时,y 0 若a+b+c<0,即当x=1时,y 0 考点4 二次函数的平移 1.将抛物线解析式化成顶点式y=a(x-h) 2 +k,对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k); 2.保持y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下: 名师提醒 二次函数图象的平移遵循“上加下减,左加右减”的原则,据此,可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式;二次函数图象的平移也可以看作是顶点间的平移,可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式,因此要掌握整条抛物线的平移,只需抓住关键的顶点平移即可。 考点5 确定二次函数的解析式 方法 适用条件及求法 一般式 若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值,则可设所求二次函数解析式为 . 顶点式 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值),可设所求二次函数为 . 交点式 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),可设所求的二次函数为 . 【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号;(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式. 考点6 二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系 二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c的图象与 轴的交点的 坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 二次函数与不等式 抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c 0的解集;在x轴下方的部分点的纵坐标均为负,所对应的x的值就是不等式ax2+bx+c 0的解集. 名师提醒 在抛物线y= ax2+bx+c中,当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时y= a+b+c。解题时,经常根据x=1和x=-1对应的函数值判断a+b+c和a-b+c的符号。 中考典例剖析 考点一:二次函数的图象与性质 命题角度①:二次函数的图象 例1 .(2022•株洲)已知二次函数y=ax2+bx﹣c(a≠0),其中b>0、c>0,则该函数的图象可能为( ) A. B. C. D. 【跟踪训练】 1. (2023贵州)已知,二次数的图象如图所示,则点所在的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.(2021•江西)在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示