专题07 二倍角公式及其相关（考点解读+考点归纳+8类题型）-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

专题07 二倍角公式及其相关 理解由两角和与差公式推得二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系；能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想；掌握二倍角公式、半角公式对三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明；以此，培养学生的数学运算及逻辑推理核心素养； 一、《必修第二册》目录与内容提要 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 第六章内容提要 倍角公式： ， ， ； 二、考点解读 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）公式S2α：sin 2α＝2sinαcosα； （2）公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； （3）公式T2α：tan 2α＝； 【说明】1、倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，是的二倍角等等； 2、公式的变形与应用 （1）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝. （2）升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 2、半角公式 sin＝±. cos＝±. tan＝±(无理形式). tan＝＝(有理形式). 【说明】半角公式中的符号的确定： （1）当给出角α的具体范围时，先求的范围，然后根据范围确定符号； （2）如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号；　 1、二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2、半角公式； 3、三角变换的灵活应用； 题型1、结合二倍角公式给角求值 例1、（1）coscoscos的值为（ ） A．　　　　　 B．－ C． D．－ （2）求下列各式的值 ①cos 72°cos 36°；②＋. 【说明】所给角为非特殊角的三角函数式求值，要结合诱导公式、同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，化为适用二倍角公式的形式，进而求值； 对于给角求值问题，一般有两类： （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式； 题型2、结合二倍角公式给值求值 例2、（1）若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A． B． C． D． （2）已知cos＝，≤α<， ①求cos的值；②求的值； 【说明】解决给值求值问题的方法，给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． （3）注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2； ②cos 2x＝sin＝sin＝2sincos. 题型3、结合二倍角公式给值求角 例3、（1）已知α∈，且sin 2α＝sin，求α. （2）写出一个使等式＋＝2成立的α的值为________. 【说明】解决条件求值（角）问题的方法： 1、有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系； 2、当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通： cos 2x＝ 类似的变换还有：cos 2x＝， ； 3、特别注意：根据三角比结合“角的取值范围”求角； 题型4、利用二倍角公式化简 例4、（1）化简：－tan θtan 2θ. （2）化简：. 【说明】1、解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要切化弦后再进行变形． 2、对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n为正整数)． 3、二倍角余弦公式的运用：在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－