专题06 两角和与差的正弦 余弦 正切（考点解读+考点归纳+8类题型）-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

专题06 两角和与差的正弦 余弦 正切 能利用单位圆与任意角的三角比值的定义，结合平面几何中的三角形全等与两点之间的距离公式；推导两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角和与差的正弦公式式；化切为弦推导得两角和与差的正切公式；能利用公式解决简单的化简求值问题； 通过两角和与差的正弦、正切公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养；借助两角和与差的余弦、正弦、正切公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养； 一、《必修第二册》目录与内容提要 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 第六章内容提要 2、常用三角公式 和角与差角公式： ， ， ； 二、考点解读 1、两角和与差的余弦公式 Cα＋β：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ. Cα－β：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ. 【说明】思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？ 【解析】依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α＝，cos α＝，所以x＝cos α，y＝sin α，即点P坐标为(cos α，sin α)．； 思考：根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？ 【解析】对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”． 2、两角和与差的正弦公式 Sα＋β：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ. Sα－β：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ. 3、辅助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝. 4、两角和的正切公式 Tα＋β：tan(α＋β)＝ . Tα－β：tan(α－β)＝ . 【说明】思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？ 【解析】 (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝； (3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan αtan β＝1－. 两角和角与差角的正弦、余弦、正切公式： ， ， ； 题型1、利用两角和与差的余弦公式化简求值 例7、化简下列各式： （1）cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； （2）求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值； （3）求的值； 【说明】1、在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体； 2、在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： （1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值； （2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值； 题型2、注意“变角”利用公式化简求值 例2、（1）sin＋2sin－cos； （2）求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值． 【说明】1、对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：（1）化为特殊角的三角函数值；（2）化为正负相消的项，消去，求值；（3）化为分子、分母形式，进行约分再求值； 2、在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换； 题型3、利用公式给值(式)求值 例3、（1）已知α∈，sin α＝，求tan的值； （2）已知α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值． （3）设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝－，求sin(α＋β)的值． 【说明】给值求值的解题步骤： 1、找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异； 2、拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： α＝α＋β－β，α＝β－β－α，α＝2α－β－α－β，α＝[α＋β＋α－β]，α＝[β＋α－β－α]等； 题型4、已知三角比值求角 例