专题04 单位圆与三角函数线的应用（考点解读+考点归纳+9类题型）-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

专题04 单位圆与三角函数线的应用 借助单位圆与三角比值的交汇，通过引入三角函数线培养学生的逻辑推理、数学抽象及直观想象核心素养； 一、《必修第二册》目录与内容提要 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 第六章内容提要 1、正弦、余弦、正切、余切 单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆； 正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有 ，，（），（）； 二、考点解读 1、单位圆； 半径为1的圆； 在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆； 2、单位圆与三角比值的交汇 如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合， 始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)， 则sin α＝v，cos α＝u，tan α＝(u≠0)． 【说明】单位圆在高一数学中的应用主要体现在三角函数中的应用，而三角函数在整个高中数学学习乃至高考中所占比重都很大，所以有必要充分利用单位圆来更好地学习掌握这部分知识；用单位圆上点的坐标来定义三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础； 3、有向线段 规定了方向(即规定了起点和终点)的线段； 4、三角函数线 【答案】 1、单位圆 在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆； 2、三角函数线 如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线. 记作：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT. 【注意】三角函数线的方向是怎样确定的？ 【解析】三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正； 题型1、对单位圆与任意角三角比值的理解 例1、（1）3．设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a,4a)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　) A．　　 B．－ C．　 D．－ （2）列四个命题中，不正确的命题的序号是 ①α一定时，单位圆中的正弦线一定 ②单位圆中，有相同正弦线的角相等 ③α和α＋π有相同的正切线 ④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上 题型2、对三角函数线的理解 例2、（1）如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　) A．正弦线，正切线 B．正弦线，正切线 C．正弦线，正切线 D．正弦线，正切线 （2）角和角有相同的(　　) A．正弦线　 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定 题型3、三角函数线的初步理解 例3、（1）在单位圆中，满足sin α＝的正弦线有几条？ 试在图中明确． （2）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： ①②sin α≥；②cos α≤－. 题型4、三角函数线的做法 例4、（1）作出的正弦线、余弦线和正切线； （2）作出－的正弦线、余弦线和正切线． 【说明】三角函数线的画法： 1、作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线； 2、作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交α的终点(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT； 题型5、借助三角函数线的判别与证明 例5、（1）设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cos α＝OM，则下列命题成立的是(　　) A．总有MP＋OM＞1 B．总有MP＋OM＝1 C．存在角α，使MP＋OM＝1 D．不存在角α，使MP＋OM＜0 （2）利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1. 题型6、利用三角函数线证明 例6、已知α∈，试比较sin α，α，tan α的大小． 【说明】1、本题的实质是数形结合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解