专题01 任意角及其度量（考点解读+考点归纳+10类题型）-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

专题01 任意角及其度量 在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质；为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据；因此，本章将先拓展角的概念、并从集合视角认识终边相同的角、象限角，同时引入角的新的度量制度；以此有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、 立体几何等后续章节奠定基础； 一、《必修第二册》目录与内容提要 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 第六章内容提要 1、正弦、余弦、正切、余切 弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制； 扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，； 单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆； 正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有 ，，（），（）； 同角三角公式：，，，； 诱导公式：（），，，； 诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限. 2、常用三角公式 和角与差角公式：，， ； 倍角公式： ， ， ； 3、解三角形 正弦定理：； 余弦定理：，，； 三角形面积公式：； 二、考点解读 1、锐角A的正弦，余弦，正切，余切 在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA===; 在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA===; 在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA===; 在Rt△ABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA===; 锐角A的正弦、余弦、正切与余切也可以都叫做锐角A的三角比； 2、角的概念的推广 在小学和初中我们已经知道， 角是具有公共端点的两条射线所组成的图形； 高中，在集合视角下，角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点 从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形； 3、角的分类 正角，负角，零角； 一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是正的； 按顺时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是负的； 特别地，当一条射线没有旋转时（终边与始边重合），我们也认为形成了一个角，称为零角；零角的终边与始边重合； 4、终边相同的角及其表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，或S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和； 【特别注意】角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用 5、象限角 为了便于研究角与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中；使得角的顶点与坐标原点重合，角的始边在轴的正半轴重合；此时，终边落在第几象限就说这个角时第几象限的角； 6、角度制 在平面几何中，周角的360分之一作为1度；用“度”作为单位度量角的单位制叫做角度制； 7、弧度制 把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用“弧度”作为单位度量角的单位制叫做弧度制； 8、扇形的弧长、扇形的面积公式 设扇形所在圆的半径为，圆心角为，所对弧长为，对应面积为， 则； 1、角的概念 （1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． （2）分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角； （3）相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α； 2、终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，或S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}；即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和； 【注意】对终边相同的角的理解： （1）α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏； （2）k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)； （3）当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终