安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

合肥一中2023-2024学年度高二年级第一学期期末联考 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. 2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交. 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 2. 在平行六面体中，M为与的交点，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等差数列的前n项和，，则（ ） A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 4. 已知抛物线上有两个点A，B，焦点为F，若，则线段AB的中点到x轴的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上存在点，点关于直线对称点在圆上，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 正方体的棱长为5，点M在棱AB上，且，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 10. 已知方程：，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则方程表示的曲线是椭圆，且焦点在x轴上 B. 若，则方程表示的曲线是圆，其半径为 C. 若，则方程表示的曲线是双曲线，其渐近线方程为： D. 若，则方程表示的曲线是两条直线． 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A. 直线过定点 B. 动点的轨迹方程为 C. 动点到直线的距离的最大值为 D. 若点的坐标为，则的最小值为 12. 已知等比数列前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 设，，则的最小值为12． C. 若对任意的恒成立，则 D. 设若数列的前n项和为，则 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知直线与直线，则这两条平行直线之间的距离为______． 14. 已知数列，满足，若，则数列的前2024项和为______． 15. 已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形PAOB面积最小时，直线AB的方程为______． 16. 如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是______． 四、解答题：共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图所示，正方体的棱长是2，E、F分别是线段AB、的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 18. 已知圆心为的圆经过点，和． （1）求圆M的方程； （2）若过点的直线被圆M截得的弦长为，求直线m的方程． 19. 已知数列是递增的等比数列且满足，令． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 20. 如图1，，，且，D是中点，沿将折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：面面； （2）若线段上存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值． 21. 已知为等差数列，，记分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项