4.2 等比数列（第2课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

4.2等比数列（第2课时） 等比数列的前n项和 第4章 数列 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和的性质及应用 01 02 CONTANTS 目 录 等比数列的前n项和 01 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个 格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和. 思考：一般地，如何求一个等比数列的前项和呢？ 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和是Sn＝a1+a2+a3+…+an. 根据等比数列的通项公式，上式可写成 Sn＝a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ① 我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得 qSn＝a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. ② ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得 Sn-qSn＝a1-a1qn， 即 （1-q）Sn＝a1（1-qn）. 因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前项和公式 因为an＝a1qn-1，所以公式（1）还可以写成 Sn＝na1 当q=1时，等比数列的前n项和Sn等于多少？ 对于等比数列的前项和公式应注意以下三点： （1）在推导等比数列的前项和公式时，通过乘公比错位相减推导公式的方法我们 称为错位相减法. （2）设等比数列{an}的首项为a1，公比为，则其前项和为 当未知时，要分两种情况讨论. （3）当时，要注意公式的灵活选择. 当已知时，用 当已知时，用 下面，解决情景引入中提出的问题. 由 ，q=2，n=64，可得 这个数很大，超过了 . 如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言. 【典例1】已知数列{an}是等比数列. （1）若，，求； （2）若，； （3）若，，求 解：（1）因为＝，＝，所以 （2）由，可得，即＝. 又由，所以 （3）把，代入 整理，得＝ 解得. 对于等比数列的相关量，，已知几个量就可以确定其他量？ 【典例2】 已知等比数列的公比 ，前n项和为， 证明，，成等比数列，并求这个数列的公比. 证明： （1）当 时， 所以 ，， 成等比数列，公比为1. 证明： （2）当 时， 所以 因为 为常数， 所以 ，，成等比数列，公比为 . [学透用活] 已知在等比数列{an}中，S10＝10，S20＝30，则S30＝________. 等比数列的前n项和的性质及应用 02 思考 1. 类比等差数列，等比数列的前 n 项和 有什么函数特性？ 提示： 1. ①等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论， 即 和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况. ② 当q=1时，是n的正比例函数. 当 时，等比数列的前n项和公式是 它可以变形为 设 ， 上式可写成 是一个指数式与一个常数的和， 且指数式的系数与常数项互为相反数. 其中 一、等比数列前n项和公式的函数特征 1 数列是等比数列 2 若等比数列的前n项和为，则 成等比数列 （其中均不为0，即当 q=-1,n为偶数时，上述性质不成立） 3 若等比数列的公比为q，则 等比数列的项数是偶数时， 等比数列的项数是奇数时， 二、等比数列前n项和的性质 【典例3】 如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 分析： 可以利用数列表示各正方形的面积，根据条