4.2无穷等比数列各项和（第3课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

4.2无穷等比数列各项和（第3课时） 第 4 章 数列 沪教版2020选修第一册 01无穷等比数列各项和公式探究 02无穷等比数列各项和公式应用 目录 2 1.无穷等比数列 各项和公式探究 …… 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》中有云： 一尺之棰 日取其半 万世不竭. 如果我们把每天取的长度依次记录下来，可得数列： 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》中有云： 一尺之棰 日取其半 万世不竭. 如果我们把每天取的长度 依次记录下来，可得数列： 如果把每天截下那一部分的长度都“加”起来 ， 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》中有云： 一尺之棰 日取其半 万世不竭. 如果我们把每天取的长度 依次记录下来，可得数列： 问题一:无穷等比数列各项的和 S 与 有什么关系？ 我们把 的无穷等比数列前n项的和 当 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示， 即S= 无穷等比数列各项的和的定义： 强调： 战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》中有云： 一尺之棰 日取其半 万世不竭. 如果我们把每天取的长度依次记录下来，可得数列： 如果把每天截下那一部分的长度都“加”起来 ， 解决情境问题 22 2.无穷等比数列 各项和公式应用 例8.正方形ABCD的边长为1，连接这个正方形各边的中点 得到一个小的正方形A1B1C1D1；又连接这个小正方形各边 的中点得到一个更小的正方形A2B2C2D2；如此无限继续下去， 求所有这些正方形的周长和与面积的和. 练一练 1.如图，正方形 的边长为 ，取正方形 各边的中点 作第2个正方形 ，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形 开始，连续10个正方形的面积之和； (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 解 设正方形的面积为，后续各正方形的面积依次为, ,…，则=25, 由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，所以=, 因此{}，是以25为首项，为公比的等比数列. 设{}的前项和为， （1）===，所以，前10个正方形的面积之和为c. (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和， 而== 随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 2.如图，已知等边三角形ABC的面积为1，联结这个三角形各边的中点得到一个小的正三角形 ,又联结这个三角形各边的中点得到一个更小的正三角形 ，这样的过程无限继续下去，求所有三角形的面积的和。 练一练 设第n个正三角形的面为 各个三角形的面积构成一个首项为1，公比是0.25的无穷等比数列，所以 科克雪花曲线（分形图案） 经过n次 拓展探究： 边长为1的正三角形 无限变化下去 16 （1）写出边数变化的递推公式； （2）写出每条边长度变化的递推公式； （3）写出周长变化的递推公式； （4）共同找出围住区域的面积变化规律. 17 为了便于计算，设原来等边三角形的面积为“1”。 第一步以后，因为原来的边数是3，向外作了3个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是 ，增加的面积是 。 第二步以后，边数变成3×4，向外作了3×4个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是 ，增加的面积是 。 第三步以后，边数变成3×42，向外作了3×42个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是 ，增加的面积是 。 依次类推，第n步以后，边数变成3×4n-1，向外作了3×4n-1个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是 ，增加的面积是 。 即，“雪花曲线”的面积是原来等边三角形的 倍。 18 课堂练习 1.（2022·上海交大附中高二期中）已知无穷数列 2.（2022·上海市复旦实验中学高二期末）化循环小数为分数： 课堂小结 1、无穷等比数列的各项和的定义: 2、无穷等比数列各项的和几种等价表示形式. 我们把 的无穷等比数列前n项的和 当 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示， 即S= THANKS “ ” A B C D A1 B1 C1 D1 B2 A2 C2 D2 B3 A3 C3 D3 $