4.1 等差数列（第2课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

4.1等差数列（第2课时） 等差数列的前n项和 第4章 数列 教师 xxx 沪教版（2020）选择性必修第一册 等差数列的前n项和 01 CONTANTS 目 录 等差数列的前n项和 01 知识点1　等差数列的前n项和公式 名师点睛 1.对前n项和公式的几点说明 (1)等差数列的两个求和公式一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个,可求另外两个,方法就是解方程组,这也是等差数列的基本问题形式. (2)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式 .用此公式时,有时要结合等差数列的性质. (3)当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式 2.等差数列前n项和的性质 性质1:等差数列的依次k项之和仍然是等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等差数列,且公差为k2d. 性质2:数列 是等差数列. 性质3:在等差数列{an}中,若an=m,am=n(m≠n),则am+n=0;若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n). 性质4:若{an}和{bn}均为等差数列,前n项和分别是Sn和Tn, 过关自诊 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=-1,a10=11,则S10=(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.30 B.40 C.50 D.60 答案 C 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=-5,d=3,则S8=(　　) A.44 B.40 C.15 D.5 解析 A 知识点2　等差数列的前n项和公式与函数的关系 因此,由二次函数的性质可以得出结论:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值. 过关自诊 从函数的角认识等差数列的前n项和,你有何新发现? 题型探究 感谢观看 Sn=na1+d. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=或Sn=na1+. Sn= {} 已知,则有. 性质5:(1)若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd, ; (2)若等差数列{an}的项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an, . 由于Sn=na1+d=n2+n, 当d≠0时,此公式可看作二次项系数为,一次项系数为,常数项为0的二次函数,其图象为抛物线y=x2+x上一系列孤立的点,坐标为(n,Sn)(n∈N+). 提示 (1)Sn=na1+(n-1)d可变形为Sn=dn2+n,令d=A,a1-=B,则Sn=An2+Bn(A为常数),并且有如下结论:数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数); (2)=a1+(n-1),这说明数列是等差数列. 类型一　等差数列前n项和的计算(数学运算) 1．已知a1＝ eq \f(3,2) ，d＝－ eq \f(1,2) ，Sn＝－15，求n和a12. 【解析】因为Sn＝n· eq \f(3,2) ＋ eq \f(n（n－1）,2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－15， 整理得n2－7n－60＝0. 解得n＝12或n＝－5(舍去). 所以a12＝ eq \f(3,2) ＋(12－1)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－4. 2．已知a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差d. 【解析】由Sn＝ eq \f(n（a1＋an）,2) ＝ eq \f(n（1－512）,2) ＝－1 022， 解得n＝4. 又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171. 等差数列中基本量计算的两个技巧 (1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝ eq \f(n（a1＋an）,2) 结合使用． 【补偿训练】 1.(2021·青岛高二检测)等差数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an)) 的前n项和为Sn，若a14＝－8，S9＝－9，则S18＝(　　) A．－162 B．－1 C．3 D．－81 【解析】选D.设等差数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an)) 的公差为d， 因为a14＝－8，S9＝－9，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\a