4.1等差数列的前n项和（第2课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

4.1等差数列的前n项和 （第2课时） 第 4 章 数列 沪教版2020选修第一册 02等差数列前n项和的基本运算 目录 01等差数列前n项和公式推导 2 学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．(难点) 2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点) 3.掌握等差数列的前n项和的简单性质．(重点、难点) 1. 等差数列前n项和的公式推导 高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100＝？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？谁算不出来，就不准回家吃饭！”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说： “老师，我算出结果来了，是 5 050！”老师和其他同学都很 吃惊.你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？ 情景到入 下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法。 1 + 2 + 3 +…+98+99+100=？ 倒序100+99+98+…+ 3+ 2+ 1=？ + + + + + + + 作 加 法 + + + + + + + 作 加 法 多少个101 ? 100个101 所以 (1+100)×100 首项 尾项 总 和 + × 项数 2×？=101+101+101+…101+101+101 // // // // // \\ \\ + + + + + + + 作 加 法 =5050 等差数列中，下标和相等的两项和相等. 设 an＝n，则 a1＝1，a2＝2，a3＝3，… 如果数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*， 且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at 可得： 探究新知 问题2： 你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？ 问题3： 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 探究新知 需要对项数的奇偶进行分类讨论. 当n为偶数时， + 探究新知 当n为奇数数时， n－1为偶数 + 个 问题3： 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 所以对任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n. 问题4：涉及对 n 分奇数、偶数进行讨论，较麻烦，能否设法避免分类讨论？ 建筑工地叠放钢管： 我们换一一思路，得到下面的方法： 倒序相加法 探究新知 问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 倒序相加法 . Sn=a1+(a1+d)+ (a1+2d) +…….+ [a1+(n-1) d] Sn =an+(an- d)+ (an-2d) +…… +[ an-(n-1) d ] 两式相加得： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+ (a1+an)+ (a1+an) =n (a1+an) 即前n项的和与首末项及项数有关 是否还有别的表达方式? 证法二: 数列前n项和的定义 将数列｛ an ｝的前n项和记作Sn，即 Sn=a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an 等差数列的前n项和公式的其它形式 公式解析 功能1：已知a1，an和n，求Sn . 功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个. 2. 等差数列前n项和的基本运算 解：（1）由等差数列的前n项和公式，得 （2）设公差为d，则d=0.8, 由等差数列的前n项和公式，得 （3）设公差为d，由等差数列的前n项和公式，得 例2　在等差数列{an}中， (1)已知a3＝16，S20＝20，求S10； 解　设等差数列{an}的公差为d， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， (3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， Sn＝210，求项数n. 解　因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， 所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30. 　已知等差数列{an}中， ∴d＝3. 练一练 (2)已知a14＝10，求S27. 解　∵a14＝10，a1＋a27＝2a14， 例3.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 分析 可得到两个关于的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得 解=310,=1220, 把它们代入公式