第3章 空间向量及其应用（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记•巧练（沪教版2020选择性必修第一册）

第3章 空间向量及其应用（压轴题专练） 目录： 题型1：最值问题 题型2：区域面积或体积问题 题型3：取值范围问题 题型4：空间向量与立体几何的综合描述 题型5：存在性问题 题型6：折叠问题 题型7：新定义题 题型1：最值问题 1．已知正方体的棱长为1，，则的最大值是 ． 2．若正三棱锥的底面边长为6，高为，动点P满足，则的最小值为 ． 3．已知、、为空间中三个单位向量，且、、与夹角为，点P为空间一点，满足且，则最大值为 ． 题型2：区域面积或体积问题 4．点是正四面体的中心，.若，其中，则动点扫过的区域的体积为 . 5．正方体的边长为1，点分别为边的中点，是侧面上动点，若直线与面的交点位于内（包括边界），则所有满足要求的点构成的图形面积为 . 题型3：取值范围问题 6．如图，在中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 7．三棱锥中，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值 ，若记直线与直线的所成角为，则的取值范围为 . 8．已知正四面体的棱长为2，若球O与正四面体的每一条棱都相切，点P为球面上的动点，且点P在正四面体面ACD的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为 ． 题型4：空间向量与立体几何的综合描述 9．在棱长为的正方体中，点，，，分别为线段，，，的中点，点为线段的动点，则下列说法正确的是 . ①异面直线与所成角的余弦值为；②当为线段的中点时，点，，，四点共面：③对任意点的点，都有平面平面；④三棱锥的外接球的表面积为. 10．已知正方体，设其棱长为1（单位：）．平面与正方体的每条棱所成的角均相等，记为．平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论正确的是（    ）    A．可能为三角形，四边形或六边形 B． C．的面积的最大值为 D．正方体内可以放下直径为的圆 11．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①三棱锥中，点P到面的距离为定值 ②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③ 直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 以上命题为真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5：存在性问题 12．如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．给出以下四个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足； ③满足的点P的轨迹长度为； ④满足的点P的轨迹长度为． 其中正确的结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个命题中正确命题的个数是（    ） ①存在点，使得    ②不存在点，使得平面 ③三棱锥的体积是定值    ④不存在点，使得与所成角为 A． B． C． D． 14．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边），且. 下列说法正确的是（    ） A．当E，F运动时，存在点E，F使得 B．当E，F运动时，存在点E，F使得 C．当E运动时，二面角的最小值为 D．当E，F运动时，二面角的余弦值为定值 15．如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，说明理由； (3)在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 题型6：折叠问题 16．已知平面四边形中，，将沿对角线折起，使得二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 17．在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.    (1)求与平面所成角的大小； (2)在线段上是否存在点（不与端点重合），使平面与平面垂直？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由. 18．我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线.      (1)证明：三棱锥为正四面体； (2)若点M，N分别在，上，且为与的公垂线. ①求的值； ②记四面体的内切球半径为r，证明：. 题型7：新定义题 19．定义向量，其中，，若存在实数t，使得对任意的正整数，都有成立，则x的最小值是 . 20．向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题: ①若为“类集”,则集合也是“