精品解析：山西省太原市2024届高三上学期期末学业诊断数学试题

2023~2024学年第一学期高三年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8:00—10:00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（ ） A 18 B. 24 C. 32 D. 36 5. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图是函数部分图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若实数，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知数列中，，，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 11. 已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，点和分别满足，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，四棱锥的外接球的表面积是 C. 当时，不存在使得 D. 的最小值为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 双曲线的渐近线方程为_________． 14. 展开式中常数项为______. 15. 已知非零向量，夹角为，则的最小值为______. 16. 已知实数，分别满足，，其中是自然对数的底数，则______. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 在中，，，分别为内角的对边，点在线段上，，，的面积为. （1）当，且时，求； （2）当，且时，求的周长. 19. “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，，，. （1）证明：四棱锥是一个“阳马”； （2）已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值. 20. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为. （1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为， （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时， 21. 已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线焦点的直线与相交于两点，面积的最小值为4. （1）求抛物线的方程； （2）若过点的动直线交于，两点，试问抛物线上是否存在定点，使得对任意的直线，都有.若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由. 22. 已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）当时，不等式恒成立，求实数取得的最大整数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第一学期高三年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8:00—10:00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答