第04讲 函数的极值、最值（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第4讲　函数的极值、最值（3大考点+强化训练） 【知识导图】 【考点分析】 考点一　利用导数研究函数的极值 判断函数的极值点，主要有两点 (1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点． (2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点． 一、单选题 1．（2023下·上海青浦高级中学校考期中）对于以下结论： ①若公比，那么等比数列前n项和存在极限； ②为数列最大的项，那么对任意的n（，，）都成立； ③函数的导数为，若，那么为函数的极值点； ④函数的导数为，若恒成立，那么是严格增函数. 正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 2．函数的极值点是 ． 三、解答题 3．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)当时，求函数的最值； (2)当时，讨论函数的极值点个数. 4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)当时，求函数的最值； (2)当时，讨论函数的极值点个数. 考点二　利用导数研究函数的最值 1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值． (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)． (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 一、单选题 1．设函数，若存在，使，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 2．当时，函数的最大值与最小值的和为 . 三、解答题 3．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，且. (1)证明：； (2)若，求当面积最大时的值. 4．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明； (2)若关于x的不等式在上能成立，求实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 考点三　极值、最值的简单应用 一、单选题 1．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的最大值为 C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为 D．若，则 三、填空题 3．（2023下·甘肃武威民勤县第一中学校考阶段练习）若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”），若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 4．已知函数，在点处的切线为. （1）求函数的单调区间； （2）若，是函数的两个极值点，证明. 5．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）设函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)讨论函数在区间上零点的个数. 【强化训练】 一、单选题 1．设函数的一个极值点为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023单元测试）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间内有且仅有一个零点，则在区间上的最大值为（    ） A．4 B．10 C．16 D．20 4．已知函数，有以下命题：①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上有极大值；③当时，函数在上单调递减；④当时，函数在上有极大值，有极小值．其中不正确命题的序号是 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 5．已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为：（    ） A． B． C． D． 6．函数的极小值为（    ） A．0 B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，（    ）． A．若在区间上单调，则 B．将函数的图象向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，最小值为 C．函数在区间上恰有三个极值点，则 D．关于x的方程在上有两个不同的解，则 8．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数，若函数有两个零点，则的值可能是（    ） A．2 B． C．3 D．0 三、填空题 9．若函数在处有极值，且，则称为函数的“点”.已知函数存在两个不相等的“点”，，且，则的取值范围是 . 10．若关于x的不等式恒成立，则的最小值是 . 11．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产 （千台）． 12．（2023·