专题3-4 解三角形大题综合归类（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题3-4解三角形大题综合归类 目录 题型01 正余弦定理基础：正余余正求角 (第一问） 1 题型02 正余弦定理基础：分式型求角 (第一问） 2 题型03正余弦定理基础：角度关系证明型 (第一问） 3 题型04 正余弦定理基础：正切型求角 (第一问） 4 题型05 解三角形最值：角与对边型求面积 5 题型06 解三角形最值：角非对边型求面积 5 题型07 解三角形最值：周长型最值 6 题型08 解三角形最值：长度型最值 7 题型09 解三角形最值：锐角三角形与边系数不等型 8 题型10解三角形最值：四边形面积最值型 8 题型11三大线：中线（重心）型 10 题型12 三大线：角平分线（内心）型 12 题型13 三大线；高 13 题型14 辅助线型：双三角型 14 高考练场 15 题型01 正余弦定理基础：正余余正求角 (第一问） 【解题攻略】 正余弦定理求角基础： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β)) 正余余正 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β)) 正余余正 正角 减 余角 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β)) 余余正正 偶函数。谁 减 谁 无所谓cos(α－β)=cos(β－α) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) 对于sin（）与cos（） 简称为“正余余正，余余正正” 恒等变形和化简求角中，有如下经验： 1、 SinC=Sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找sinC拆 2、 边的齐次式，正弦定理转为角的正弦； 3、 cosC=-cos(A+B)=-[cosAcosB-sinAsinC] 【典例1-1】（2024上·天津西青·高三统考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，，求； (3)若，求． 【典例1-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)若为边上一点，且满足，，证明：为直角三角形． 【变式1-1】（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【变式1-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，点在边上，，且，求． 【变式1-3】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考）在中，角的对边分别为. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 题型02 正余弦定理基础：分式型求角 (第一问） 【解题攻略】 分式型特征： 1. 分式中分子分母是边的齐次式。 2. 分式中分子分母是正弦的齐次式 3. 如果有余弦，一般情况下不计入次幂计算 4. 可以通过去分母，转化为无分式型齐次，再用正弦定理转化 【典例1-1】（2023上·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值． 【典例1-2】（2023上·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）已知的三个内角所对的边分别是．已知 (1)求角； (2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长． ①为的角平分线；②为的中线． 【变式1-1】．（2023上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足 (1)求角C的大小； (2)若，点D为AB 的中点，求的值. 【变式1-2】（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）在中，，且 (1)求角； (2)若点为边上一点，且，求的面积. 【变式1-3】（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求角C； (2)若边上的中线长为1，求面积的最大值． 题型03正余弦定理基础：角度关系证明型 (第一问） 【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）的内角的对边分别为，. (1)证明：； (2)若，求的面积. 【变式1-1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，满足 (1)求证：； (2)若为锐角三角形，求的最大值．