5.2.2 等差数列的前n项和（3知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

5.2.2 等差数列的前n项和 课程标准 学习目标 （1）探索并掌握等差数列前n项和公式； （2）理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系； （3）能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，会求等差数列前n项的最值。 （1）经历等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养； （2）通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养； （3）在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养； 知识点01 等差数列的前n项和 1、等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2、等差数列前n项和公式的推导 对于公差为d的等差数列， ① ② 由①＋②得 n个＝， 由此得等差数列前n项和公式， 代入通项公式得. 【即学即练1】（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）（多选）数列为等差数列，为其前n项和，已知，则（ ） A． B． C． D． 知识点02 等差数列的前n项和性质 1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和， ，，…组成公差为的等差数列； 2、前n项和与n的比值： 数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； 3、奇偶项和性质：若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则 【即学即练2】（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）在等差数列中，已知，，则（ ） A．90 B．40 C．50 D．60 知识点03 等差数列前n项和的最值 1、等差数列的前n项和与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 （1）将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． （2）邻项变号法： 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值。 【即学即练3】（2024·重庆·高二巴蜀中学校考期末）已知等差数列的前项和为，且，则数列的最大项是（ ） A． B． C． D． 【题型一：等差数列前n项和与基本量】 例1．（2023·全国·高二期末）记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ） A． B． C． D． 变式1-1．（2023·甘肃兰州·高二兰州一中期末）设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 变式1-2．（2023·江苏·高二专题练习）在等差数列中， （1）已知，，，求和； （2）已知，，求； （3）已知，，，求． 变式1-3．（2024·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知数列是等差数列， （1）求的通项公式 （2）记的前项的和为，若，求的值． 【方法技巧与总结】 ，，，，知三求二 （1）在等差数列中，，或，两个公式共涉及，，，及五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前项和；、 （2）依据方程的思想，在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。 【题型二：等差数列的片段和性质】 例2．（2023·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（ ） A．140 B．180 C．220 D．380 变式2-1．（2024·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末）已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式2-2．（2023·广东东莞·高二校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，且，，则 ． 变式2-3．（2024·河北邢台·高二博野中学校联考期末）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【方法技巧与总结】 等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 【题型三：等差数列前n项和与n的比值】 例3．（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（