思维训练09 “12345”模型&思维训练10 直线型最值问题- 【一战成名新中考】2024江西中考数学·培优册

培优册·江西数学 思 维 训 练 九 ﹃１２３４５ ﹄ 模 型 思维训练九　“１２３４５”模型 模型解读：角的大小有两种刻画方法：一种是直接用度数表示；另一种是常被我们忽略的边长 刻画法，即用该角的三角函数值来刻画这个角的大小．１２３４５模型推导及结论：用符号“１２”表 示正切值为 １ ２的锐角，其余类似 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ． 典例精 讲 例　如图，在４×３的网格中，每个小正方形的边长均为１，定义每个小正方形的顶点为格 点，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ均在格点上． 例题图 【基本感知】 （１）观察网格，填空． ｔａｎ∠ＢＡＣ＝　　　　；ｔａｎ∠ＥＤＦ＝　　　　； 【操作探究】 （２）通过平移、旋转，使得∠ＢＡＣ的顶点Ａ与顶点Ｄ重合，边ＡＣ与ＤＥ重合，边ＡＢ在ＤＥ 的左侧，得到∠ＢＤＦ．请在图中画出∠ＢＤＦ，并用量角器测量∠ＢＤＦ＝　４５　°； （３）观察所画的图形，点Ｂ也在格点上，连接ＢＦ，则△ＢＤＦ是　等腰直角　三角形． 　　　　　　　　　　　　　　　　针对训练１ 如图，在２×５的正方形网格 中，每个小正方形的顶点称为格点，点 Ａ， Ｂ，Ｐ均在格点上，则∠ＰＡＢ＋∠ＰＢＡ＝ （　Ｂ　） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．５０° Ｄ．６０° 针对训练１题图 　 针对训练２题图 针对训练２　如图，在正方形ＡＢＣＤ外作等 腰直角三角形 ＣＤＥ，∠ＣＥＤ＝９０°，ＤＥ＝ ＣＥ，连接ＢＥ，则ｔａｎ∠ＥＢＣ＝ （　Ａ　） Ａ．１３ Ｂ． ２ ３ Ｃ． 槡５ ５ Ｄ． ２槡５ ５ 针对训练３　（人教八下Ｐ４４例２改编）如 图，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于 点Ｏ，若ＯＡ＝ＢＣ，则ｔａｎ∠ＡＢＤ＝　　　　． 针对训练３题图                         １６ 培优册·江西数学 思 维 训 练 十 直 线 型 最 值 问 题 思维训练十　直线型最值问题 类型１　将军饮马问题 【问题背景】 将军饮马问题 希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位 将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从Ａ地 出发到河边饮马，然后再到Ｂ地军营视察，显然有许多走法．问走什么样的 路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后 来被人们称作“将军饮马”问题． 一、同侧线段和最小值问题 模型解读 图形 结论 两定点Ａ，Ｂ位于直线ｌ同 侧，在直线 ｌ上找一点 Ｐ， 使得ＰＡ＋ＰＢ的值最小 作点Ｂ关于直线ｌ的对称点Ｂ′ 连接ＡＢ′与直线ｌ交于点 →Ｐ 此时 ＰＡ＋ＰＢ 的值最小，即 为ＡＢ′ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　针对训练１ 如图，在菱形ＡＢＣＤ中，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ均在坐标轴上．∠ＡＢＣ＝１２０°，点Ａ（－３， ０），点Ｅ是ＣＤ的中点，点Ｐ是ＯＣ上的一动点，则ＰＤ＋ＰＥ的最小值是 （　Ａ　） Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．２槡２ Ｄ． ３ ２槡３ 针对训练１题图 　　　　　　 针对训练２题图 二、异侧线段差最大值问题 模型解读 图形 结论 两定点Ａ，Ｂ位于直线ｌ异 侧，在直线 ｌ上找一点 Ｐ， 使得｜ＰＡ－ＰＢ｜的值最大 作点Ｂ关于直线ｌ的对称 点Ｂ′，连接ＡＢ′并延长 与直线ｌ交于点 →Ｐ 此时 ｜ＰＡ －ＰＢ｜的 值最大，即 为ＡＢ′ 针对训练２　在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知抛物线的顶点坐标为（２，０），且经过点（４，１）， 如图，直线ｙ＝１４ｘ与抛物线交于Ａ，Ｂ两点，在抛物线的对称轴上存在一点Ｐ，使｜ＰＡ－ＰＢ｜ 取得最大值，则点Ｐ的坐标为　　　　　　　． ２６ 培优册·江西数学 思 维 训 练 十 直 线 型 最 值 问 题 三、周长最小值问题 模型解读 图形 结论 点Ｐ是∠ＡＯＢ内部一定 点，在 ＯＡ上找一点 Ｍ， 在ＯＢ上找一点 Ｎ，使得 △ＰＭＮ的周长最小 分别作点Ｐ关于ＯＡ， ＯＢ的对称点Ｐ′，Ｐ″ 连接Ｐ′Ｐ″交ＯＡ， ＯＢ于点Ｍ， → Ｎ 此时△ＰＭＮ的 周长最小，即为 Ｐ′Ｐ″ 针对训练３　如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，点Ｅ在边ＢＣ上，且ＢＥ＝１，点Ｍ为ＡＢ上一 动点，点Ｎ为对角线ＡＣ上一动点，则△ＥＭＮ周长的最小值为　槡３４