思维训练06 对角互补模型专项训练- 【一战成名新中考】2024江西中考数学·培优册

培优册·江西数学 思 维 训 练 六 对 角 互 补 模 型 专 项 训 练 思维训练六　对角互补模型专项训练（２０２２．２３） 情形 图示 结论 含直角 一组邻 边相等 （ＡＤ＝ＣＤ） 邻边均 不相等 作垂直构全等 △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ 旋转构等腰直角三角形 △ＢＤＧ是等腰直角三 角 形，即 ＤＢ ＝ＤＧ， ∠ＢＤＧ＝９０° 作垂直构相似 △ＡＥＤ∽△ＣＦＤ 不含 直角 一组邻 边相等 （ＡＤ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＋ ∠ＡＤＣ＝１８０°） 邻边均 不相等 （∠ＡＢＣ＋∠ＡＤＣ＝ １８０°） 作垂直构全等 △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ 旋转构等腰三角形 △ＢＤＧ是等腰三角形， 即ＤＢ＝ＤＧ 作垂直构相似 △ＡＥＤ∽△ＣＦＤ ６５ 培优册·江西数学 思 维 训 练 六 对 角 互 补 模 型 专 项 训 练 　　　　　　　　　　　　　　　　针对训练１　如图，∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ＝９０°， ＣＢ＝ＣＤ． 求证：（１）ＡＣ平分∠ＢＡＤ； （２）ＡＤ＋ＡＢ＝槡２ＡＣ； （３）Ｓ△ＢＡＣ＋Ｓ△ＤＡＣ＝ １ ２ＡＣ ２． 针对训练１题图 证明：（１）解法一：如解图，过点 Ｃ作 ＣＮ⊥ＡＦ于 点Ｎ，ＣＭ⊥ＡＥ于点Ｍ， ∴∠ＡＮＣ＝∠ＡＭＣ＝９０°， 又∵在四边形 ＮＡＭＣ中，∠ＡＮＣ＋∠ＡＭＣ＋ ∠ＤＡＢ＋∠ＭＣＮ＝３６０°， ∴∠ＤＡＢ＋∠ＭＣＮ＝１８０°， ∵∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ＝９０°， ∴∠ＤＡＢ＋∠ＤＣＢ＝１８０°， ∴∠ＭＣＮ＝∠ＤＣＢ， ∴∠ＭＣＮ－∠ＤＣＭ＝∠ＤＣＢ－∠ＤＣＭ， 即∠ＤＣＮ＝∠ＢＣＭ， 在△ＣＢＭ和△ＣＤＮ中， ∠ＢＭＣ＝∠ＤＮＣ， ∠ＢＣＭ＝∠ＤＣＮ， ＣＢ＝ＣＤ { ， ∴△ＣＢＭ≌△ＣＤＮ， ∴ＣＭ＝ＣＮ，又∵ＣＮ⊥ＡＦ，ＣＭ⊥ＡＥ， ∴ＡＣ平分∠ＢＡＤ； （其他解法见参考答案Ｐ８９） （２）如解图，∵ＣＮ⊥ＡＦ，ＣＭ⊥ＡＥ， ∴∠ＡＮＣ＝∠ＡＭＣ＝９０°， 又∵∠ＤＡＢ＝９０°，∴四边形ＮＡＭＣ为矩形， ∵ＡＣ平分∠ＢＡＤ， ∴∠ＣＡＭ＝４５°，∴∠ＡＣＭ＝４５°， ∴∠ＣＡＭ＝∠ＡＣＭ， ∴ＡＭ＝ＣＭ， ∴四边形ＮＡＭＣ为正方形，∴ＡＮ＝ＡＭ， 在Ｒｔ△ＡＭＣ中，ＡＭ＝ＣＭ＝ＡＣ·ｓｉｎ４５°＝槡２２ＡＣ， ∵△ＣＢＭ≌△ＣＤＮ，∴ＢＭ＝ＤＮ， ∴ＡＤ＋ＡＢ＝ＡＮ－ＤＮ＋ＡＭ ＋ＢＭ ＝２ＡＭ ＝ 槡２ＡＣ； （３）如解图，∵△ＣＢＭ≌△ＣＤＮ，∴Ｓ△ＢＡＣ＋Ｓ△ＤＡＣ ＝Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ正方形ＡＭＣＮ＝ １ ２ＡＣ ２． 针对训练２　如图，∠ＤＡＢ＝１２０°，∠ＤＣＢ ＝６０°，ＣＢ＝ＣＤ．ＡＣ平分∠ＢＡＤ，在四边形 ＡＢＣＤ的外部作∠ＢＣＭ＝∠ＤＣＡ交 ＡＥ于 点Ｍ． 求证：（１）ＡＤ＋ＡＢ＝ＡＣ； （２）Ｓ△ＢＡＣ＋Ｓ△ＤＡＣ＝槡 ３ ４ＡＣ ２． 针对训练２题图 针对训练３　如图，∠ＤＡＢ＋∠ＤＣＢ＝１８０°， ＣＢ＝ＣＤ， 求证：ＡＣ平分∠ＢＡＤ． 针对训练３题图                                                                          ７５ 培优册·江西数学 思 维 训 练 六 对 角 互 补 模 型 专 项 训 练 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 思 维进 阶 １．如图，ＡＰ平分∠ＥＡＦ，∠ＤＣＢ的顶点 Ｃ 在 ＡＰ上，两边分别交∠ＥＡＦ的两边 ＡＦ，ＡＥ于点 Ｄ，Ｂ，且∠ＤＡＢ＋∠ＤＣＢ ＝１８０°． 求证：ＣＢ＝ＣＤ． 思维进阶１题图 证明：如解图，过点 Ｃ作 ＣＮ⊥ＡＦ于点 Ｎ， ＣＭ⊥ＡＥ于点Ｍ， ∴∠ＡＮＣ＝∠ＡＭＣ＝∠ＢＭＣ＝９０°， ∴∠ＥＡＦ＋∠ＭＣＮ＝１８０°， ∵∠ＤＡＢ＋∠ＤＣＢ＝１８０°， ∴∠ＭＣＮ＝∠ＤＣＢ， ∴∠ＭＣＮ－∠ＤＣＭ＝∠ＤＣＢ－∠ＤＣＭ， ∴∠ＤＣＮ＝∠ＢＣＭ， ∵ＡＰ平分∠ＥＡＦ，ＣＮ⊥ＡＦ，ＣＭ⊥ＡＥ， ∴ＣＮ＝ＣＭ