思维训练05 半角模型专项训练- 【一战成名新中考】2024江西中考数学·培优册

培优册·江西数学 思 维 训 练 五 半 角 模 型 专 项 训 练 思维训练五　半角模型专项训练 情形 图示 结论 等腰 直角 三角 形中 含半 角 半角 在角内 半角在 角外 旋转△ＡＢＤ构全等 △ＡＤＥ≌△ＡＦＥ； ∠ＥＣＦ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＣＦ２＋ＣＥ２＝ＥＦ２ ＝ＤＥ２ 沿ＡＤ，ＡＥ翻折 ＢＤ＝ＤＦ，ＣＥ＝ＥＦ； ∠ＤＦＥ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＤＦ２＋ＥＦ２＝ＤＥ２ 旋转△ＡＢＤ构全等 △ＡＤＥ≌△ＡＦＥ； ∠ＥＣＦ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＣＦ２＋ＣＥ２＝ＥＦ２ ＝ＤＥ２ 沿ＡＤ，ＡＥ翻折 ＢＤ＝ＤＦ，ＣＥ＝ＥＦ； ∠ＤＦＥ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＤＦ２＋ＥＦ２＝ＤＥ２ 正方 形中 含半 角 半角在 角内 旋转△ＡＤＥ构全等 △ＤＥＦ≌△ＤＭＦ； ＤＣ＝ＤＧ； ＥＦ＝ＭＦ＝ＣＭ＋ＣＦ＝ＡＥ＋ＣＦ 半角在 角外 旋转△ＡＤＥ构全等 △ＤＥＦ≌△ＤＧＦ； ＥＦ＝ＧＦ＝ＣＦ－ＣＧ＝ＣＦ－ＡＥ １２０°角中 含半角 ∠ＢＡＣ＝１２０° 将ＡＤ旋转１２０°构全等 △ＡＤＥ≌△ＡＦＥ ４５ 培优册·江西数学 思 维 训 练 五 半 角 模 型 专 项 训 练 　　　　　　　　　　　　　　　　针对训练１ 如图所示，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，Ｄ、Ｅ是斜边 ＢＣ上的两点，且∠ＤＡＥ ＝４５°，将△ＡＤＣ绕点Ａ按顺时针方向旋转 ９０°后得到△ＡＦＢ，连接ＥＦ，有下列结论：① ＢＥ＝ＤＣ；②∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＣ；③∠ＦＡＥ＝ ∠ＤＡＥ；④ＢＦ＝ＤＣ．其中正确的有 （　Ｃ　） 针对训练１题图 Ａ．①②③④ Ｂ．②③ Ｃ．②③④ Ｄ．③④ 针对训练２　如图，△ＡＢＣ是边长为２的等边 三角形，△ＢＤＣ是顶角为１２０°的等腰三角形， 以点Ｄ为顶点作∠ＭＤＮ＝６０°，点Ｍ、Ｎ分别 在ＡＢ、ＡＣ上． （１）如图①，当 ＭＮ∥ＢＣ时，△ＡＭＮ的周长 为　４　； （２）如图②，求证：ＢＭ＋ＮＣ＝ＭＮ． 图① 　　 图② 针对训练２题图 （１）４； （２）证明：如解图，延长ＡＣ至点Ｅ，使得ＣＥ＝ＢＭ， 连接ＤＥ， ∵△ＡＢＣ是等边三角形，△ＢＤＣ是顶角∠ＢＤＣ ＝１２０°的等腰三角形， ∴ ∠ＡＢＣ ＝∠ＡＣＢ ＝６０°，∠ＤＢＣ ＝∠ＤＣＢ ＝３０°， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝９０°，∴∠ＤＣＥ＝９０°， 在△ＢＤＭ和△ＣＤＥ中， ＢＤ＝ＣＤ， ∠ＭＢＤ＝∠ＥＣＤ， ＢＭ＝ＣＥ { ， 针对训练３　（优质原创）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ在 ＣＢ的延长线上，点 Ｆ在 ＢＣ上，∠ＥＡＦ＝４５°，ＡＦ交 ＢＤ于点 Ｇ，连 接ＥＧ． （１）如图①，当ＤＡ＝ＤＧ时，求证：ＢＥ＝ＢＧ； （２）在求∠ＡＥＧ的度数时，小明发现：∠ＥＢＧ ＋∠ＥＡＧ＝１８０°，则 Ａ，Ｅ，Ｂ，Ｇ四点共 圆，从而∠ＡＥＧ＝∠ＡＢＧ＝４５°．小芳说： 不用四点共圆也可以证，只需证明 ∠ＡＧＥ＝９０°，也就是△ＡＥＧ是等腰直 角三角形，那么可以再构造与△ＡＥＧ共 锐角顶点 Ａ的等腰直角三角形，如图 ②，连接 ＡＣ交 ＢＤ于点 Ｏ，只需证明 ＡＥ∶ＡＧ＝ＡＢ∶ＡＯ即可．请结合小芳的思 路，解答本题． 图① 　　　　 图② 针对训练３题图 （１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＡＤＢ＝４５°，ＡＤ∥ＢＣ， ∵ＤＡ＝ＤＧ，∴∠ＤＡＧ＝∠ＤＧＡ＝６７．５°， ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＧ＝∠ＢＦＧ， ∵∠ＢＧＦ＝∠ＤＧＡ，∴∠ＢＧＦ＝∠ＢＦＧ， ∴ＢＧ＝ＢＦ． ∵∠ＥＡＦ＝４５°，∠ＢＡＤ＝９０°，∴∠ＥＡＢ＝∠ＢＡＦ ＝２２．５°，∴ＢＥ＝ＢＦ＝ＢＧ； （２）解：由正方形性质可知，∠ＡＯＢ＝９０°，∠ＢＡＯ ＝４５°＝∠ＥＡＦ， ∴∠ＥＡＢ＝∠ＧＡＯ，∠ＥＢＡ＝∠ＧＯＡ， ∴△ＡＢＥ∽△ＡＯＧ，∴ＡＥＡＢ＝ ＡＧ ＡＯ． ∵∠ＥＡＧ＝∠ＢＡＯ，∴△ＥＡＧ∽△ＢＡＯ， ∴∠ＡＥＧ＝∠ＡＢＯ＝４５                                                                          °． ５５ 参考答案·江西数学 培 优 册 思维训练五　半角模型专项训练 针对训练１　Ｃ　针对训练２　（１）４； 针对训练２题解图 （２）证明：如解图，延长 ＡＣ至点 Ｅ，使 得ＣＥ＝ＢＭ，连接ＤＥ， ∵△ＡＢＣ是等边三角形，△ＢＤＣ是顶 角∠ＢＤＣ＝１２０°的等腰三角形， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°，∠ＤＢＣ＝ ∠ＤＣＢ＝３０°， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝９０°， ∴∠ＤＣＥ＝９０°， 在△ＢＤＭ和△ＣＤＥ中， ＢＤ＝ＣＤ， ∠ＭＢＤ＝∠ＥＣＤ， ＢＭ＝ＣＥ{ ， ∴△ＢＤＭ≌△