思维训练04 十字模型专项训练- 【一战成名新中考】2024江西中考数学·培优册

培优册·江西数学 思 维 训 练 四 十 字 模 型 专 项 训 练 思维训练四　十字模型专项训练 “十”字模型，多出现在正方形或者矩形等特殊图形中，由垂直我们可以得到全等或相似， 从而得到线段之间的数量关系． 模型 基本图形提炼 正方形中的 “十”字模型 在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分 别是ＣＤ，ＡＤ边上的点，ＡＥ⊥ＢＦ 在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为ＡＢ，ＣＤ， ＢＣ，ＡＤ边上的点，ＥＦ⊥ＧＨ △ＡＢＦ≌△ＤＡＥ，ＢＦ＝ＡＥ （反之，若ＡＥ＝ＢＦ，则ＡＥ⊥ＢＦ） △ＥＦＭ≌△ＧＨＮ，ＥＦ＝ＧＨ （反之，若ＥＦ＝ＧＨ，则ＥＦ⊥ＧＨ不一定成立） 矩形中的 “十”字模型 在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是ＡＤ上 一点，ＣＥ⊥ＢＤ 在矩形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为 ＡＤ，ＢＣ， ＡＢ，ＣＤ边上的点，ＥＦ⊥ＧＨ △ＣＤＥ∽△ＢＣＤ，ＥＣＤＢ＝ ＣＤ ＢＣ △ＥＦＭ∽△ＨＧＮ， ＥＦ ＨＧ＝ ＭＦ ＮＧ＝ ＡＢ ＣＢ 注意：在矩形ＡＢＣＤ中，ＥＦ⊥ＧＨ， 此时仍有相似，但 ＥＦ ＧＨ＝ ＡＢ ＢＣ不再成立（如右图） 在直角三角 形中和其他 四边形中的 “十”字模型 在Ｒｔ△ＡＣＢ中，点Ｄ为边ＡＣ上 一点，Ｅ为边 ＡＢ上一点，连接 ＢＤ，ＣＥ，ＣＥ⊥ＢＤ 在ＡＢＣＤ中，Ｍ为边 ＡＤ上一点，Ｎ为边 ＢＣ 上一点，ＭＮ⊥ＢＤ △ＢＣＤ∽△ＣＡＧ，ＢＤＣＧ＝ ＢＣ ＣＡ ＭＮ ＢＤ＝ ＢＥ ＤＥ 说明：直角三角形可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，所以矩形的结论 可沿用至直角三角形中．同样的，一般的平行四边形也可以补成矩形 ２５ 培优册·江西数学 思 维 训 练 四 十 字 模 型 专 项 训 练 　　　　　　　　　　　　　　　　例：如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，点 Ｄ 为ＡＣ上一点，连接 ＢＤ，Ｅ为 ＡＢ上一点， ＣＥ⊥ ＢＤ，当 ＡＤ＝ＣＤ时，ＡＥ的长为 　　　　　． 例题图 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 思 维点 拨 构造以ＡＣ、ＢＣ为邻边的矩形ＡＣＢＧ，如解 图所示，延长ＣＥ交ＡＧ于点Ｈ． 例题解图 先证明△ＡＣＨ∽△ＣＢＤ，由此得出线段 ＡＨ＝８３，再证明△ＡＥＨ∽△ＢＥＣ，由此得 出 ＡＥ ＢＥ＝ ＡＨ ＢＣ＝ ８ ９，从而 ＡＥ＝ ８ １７ＡＢ＝ ８ １７× ３２＋４槡 ２＝４０１７ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ． 思 维进 阶 如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝ ４，ＢＣ＝６，Ｄ为 ＢＣ上的点，过点 Ｂ作 ＢＥ ⊥ＡＤ交ＡＣ于点Ｅ，若ＢＤ＝２，则ＢＥ的长 为　　　　　． 思维进阶题图 针对训练１　如图，点 Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是正方 形 ＡＢＣＤ的边 ＡＤ、ＢＣ、ＡＢ上的点，连接 ＤＧ，ＥＦ，ＧＦ，且 ＥＦ＝ＤＧ，ＤＥ＝２ＡＧ，∠ＡＤＧ 的度数为α，求∠ＥＦＧ的度数． 针对训练１题图 针对训练２　如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ， Ｆ分别是边 ＤＣ，ＢＣ上的点，连接 ＡＥ，ＤＦ， 且ＡＥ⊥ＤＦ于点Ｇ，若ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，求ＤＦＡＥ 的值． 针对训练２题图 解：∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴∠Ｃ＝∠ＡＤＥ＝ ９０°，ＡＢ＝ＣＤ＝６，ＢＣ＝ＡＤ＝８， ∵ＡＥ⊥ＤＦ，∴∠ＡＧＤ＝９０°， ∴∠ＤＡＧ＋∠ＡＤＧ＝９０°， 又∵∠ＡＤＧ＋∠ＦＤＣ＝９０°，∴∠ＤＡＧ＝∠ＦＤＣ， ∴△ＤＣＦ∽△ＡＤＥ，∴ＤＦＡＥ＝ ＤＣ ＡＤ＝ ６ ８＝ ３ ４                                                                         ． ３５ 参考答案·江西数学 培 优 册 二、江西中考常用解题方法专练———思维训练 思维训练一　看到“中点”咋思考 针对训练１　Ｃ　针对训练 槡２　 ５１－１　 针对训练３　Ｃ　针对训练４　６　 针对训练 槡５　 ４１－３　针对训练６　Ｄ　 综合训练 １．Ｃ　２．７５　３．４３　４． ５ ２　 ５．解：如解图，延长ＧＥ交ＣＢ的延长线于点Ｍ． ∵四边形ＡＢＣＤ是正方