思维训练03 与圆有关的最值问题及辅助圆问题- 【一战成名新中考】2024江西中考数学·培优册

培优册·江西数学 思 维 训 练 三 与 圆 有 关 的 最 值 问 题 及 辅 助 圆 问 题 思维训练三　与圆有关的最值问题及辅助圆问题 类型１　点圆最值问题 已知平面内一点Ａ和⊙Ｏ，点Ｐ是⊙Ｏ上一动点．若⊙Ｏ的半径为ｒ，ＯＡ＝ｄ，求Ａ，Ｐ两点间距离 的最值． 图形背景 最小值 最大值 点Ａ在 圆内 当点 Ｐ在 ＯＡ的延长线上时， ＡＰ取得最小值为ｒ－ｄ 当点 Ｐ在 ＡＯ的延长线上 时，ＡＰ取得最大值为ｒ＋ｄ 点Ａ在 圆外 当点Ｐ在ＯＡ上时，ＡＰ取得最 小值为ｄ－ｒ 当点 Ｐ在 ＡＯ的延长线上 时，ＡＰ取得最大值为ｄ＋ｒ 针对训练１题图 针对训练１　如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，⊙Ｏ的半径为１．若⊙Ｏ在 正方形ＡＢＣＤ内平移（⊙Ｏ可以与该正方形的边相切），则点 Ａ到⊙Ｏ上 的点的距离的最大值为 （　Ｃ　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４槡２ Ｂ．２槡２＋１ Ｃ．３槡２＋１ Ｄ．３槡２－１ 类型２　线圆最值问题 已知⊙Ｏ及直线ｌ，点Ｍ是⊙Ｏ上一动点．若⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ．求点 Ｍ到直线ｌ的距离的最值． 图形背景 最小值 最大值 直线与 圆相离 过点 Ｏ作直线 ｌ的垂线，交 ⊙Ｏ于点Ｍ，此时点Ｍ到直线 ｌ的距离取得最小值ｄ－ｒ 过点 Ｏ作直线 ｌ的垂线，其 反向延长线交⊙Ｏ于点 Ｍ， 此时点Ｍ到直线ｌ的距离取 得最大值ｄ＋ｒ ７４ 培优册·江西数学 思 维 训 练 三 与 圆 有 关 的 最 值 问 题 及 辅 助 圆 问 题 续表 图形背景 最小值 最大值 直线与 圆相交 当点 Ｍ为直线 ｌ与⊙Ｏ的交 点时，点 Ｍ到直线 ｌ的距离 取得最小值０ 过点Ｏ作直线 ｌ的垂线，其反向 延长线交⊙Ｏ于点 Ｍ，此时点 Ｍ 到直线ｌ的距离取得最大值ｒ＋ｄ ★拓展 过直线 ｌ上一 点向圆 作切线， 切线 长最值 连接ＯＮ，当 ＯＮ⊥直线 ｌ时， 点Ｍ与点Ｎ的距离取得最小 值为 ｄ２－ｒ槡 ２ 针对训练２　（优质原创）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，Ｃ是⊙Ｏ上一动点，连接ＡＣ，ＢＣ，若⊙Ｏ的半 径为５，ＡＢ＝８，则点Ｃ到ＡＢ距离的最大值为　８　，△ＡＢＣ面积的最大值为　３２　． 针对训练２题图 　　　　　　 针对训练３题图 针对训练３　（优质原创）如图，在边长为２的菱形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，Ｍ是ＡＤ边的中点， ⊙Ｍ经过点 Ａ，Ｄ，点 Ｎ为⊙Ｍ上一动点，连接 ＢＮ，ＣＮ．则点 Ｎ到直线 ＢＣ距离的最小值 为　槡３－１　，△ＢＣＮ面积的最小值为　槡３－１　． 类型３　定点定长问题［２０２２．１２，２０２０．１２，２０１９．１２，２０１８．１９（２），２０１６．１２］ 基本图形 衍生图形 到点 Ｏ距离相等的 点在同一个圆上 ∠ＱＯＰ＝９０°，点 Ａ，Ｂ分别在射线 ＯＱ，ＯＰ上运动，则定长线段 ＡＢ的中 点Ｍ在以 Ｏ为圆心，１２ＡＢ长为半径 的圆上运动，运动轨迹是一个 １ ４圆 点Ｂ在⊙Ｏ上运动，线段 ＡＢ 的中点 Ｍ在以线段 ＡＯ中点 Ｎ为圆心，１２ＯＢ长为半径的 圆上运动 ８４ 书 培优册·江西数学 思 维 训 练 三 与 圆 有 关 的 最 值 问 题 及 辅 助 圆 问 题 针对训练４　如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＤ＝２∠ＢＡＣ，若∠ＢＣＤ＝１０５°，则 ∠ＢＤＣ＝　　　　°． 针对训练４题图 　　　 针对训练５题图 针对训练５　如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝４，ＡＢ＝１２ＡＣ，Ｄ是ＢＣ边上一动点，将 △ＡＢＤ沿ＡＤ翻折，得到△ＡＢ′Ｄ．点Ｄ从点Ｂ出发沿ＢＣ方向运动，当点Ｂ′落在ＡＣ边上时， 点Ｄ停止运动，则在点Ｄ运动的过程中，点Ｂ′的运动路径长为　　　　　． 类型４　定弦定角问题（２０１９．１２；２０１５．１４） 非９０°定角 ９０°定角 图形背景 模型背景 ＡＢ为定线段，点Ｃ为动点，∠ＡＣＢ的 度数为定值 ＡＢ为定线段，点Ｃ为动点，∠ＡＣＢ＝９０° 针对训练６　如图，在锐角三角形ＡＢＣ中，ＢＣ＝８，ｓｉｎＡ＝４５，ＢＮ⊥ＡＣ于点Ｎ，ＣＭ⊥ＡＢ于点 Ｍ，连接ＭＮ，则△ＡＭＮ面积的最大值是　　　　　． 针对训练６题图 　　　　 针对训练７题图 针对训练７　如图，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝４槡３，点Ｅ是ＢＣ的中点，点Ｆ在ＡＢ上，ＦＢ＝ ２，Ｐ是矩形上一动点．若点Ｐ从点Ｆ出发，沿Ｆ→Ａ→Ｄ→Ｃ的路线运动，当∠ＦＰＥ＝３０°时， ＦＰ的长为　４或８或４槡３　． 类型５　四点共圆问题 模型 四点共圆模型 图形 ∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０° ＡＢ定值，∠Ｐ＝∠Ｃ ９４ 培优册·江西数学 思 维 训 练 三 与 圆 有 关 的 最 值 问 题 及 辅 助 圆 问 题 续表 模型 四点共圆模型 分析 定圆心 四边形ＡＢＣＤ任意两边垂直平分线的 交点 △ＡＢＣ