专题06 二次函数图象性质综合题- 【一战成名新中考】2024江西中考数学·培优册

培优册·江西数学 专 题 六 二 次 函 数 图 象 性 质 综 合 题 专题六　二次函数图象性质综合题 类型１　与动点有关的函数性质探究（２０２０．２２） １．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中，ｘ，ｙ的部分对应值如下表，点Ｐ（ｔ，０）是ｘ轴上一动点． ｘ … －１ ０ １ ３ … ｙ … ０ ３ ｍ ０ … （１）表格中ｍ＝　４　，在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （２）若二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与ｙ轴交于点Ａ，顶点为Ｂ，求｜ＰＡ－ＰＢ｜的最大值及此 时点Ｐ的坐标； （３）设Ｑ（０，２ｔ）是ｙ轴上的动点，若线段ＰＱ与函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｘ≥０）的图象只有一个公 共点，求ｔ的取值范围． 第１题图 解：（１）４；图象如解图①所示； （２）由（１）可得Ａ（０，３），Ｂ（１，４），∴ＡＢ＝ １２＋（４－３）槡 ２＝槡２， ∵｜ＰＡ－ＰＢ｜≤ＡＢ，∴当点Ｐ在直线ＡＢ上时，｜ＰＡ－ＰＢ｜＝ＡＢ，此时｜ＰＡ－ＰＢ｜的值最大，最大值为槡２， ∴设直线ＡＢ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），则 ｂ＝３， ｋ＋ｂ＝４{ ，解得 ｂ＝３，ｋ＝１{ ，∴直线ＡＢ的解析式为ｙ＝ｘ＋３， ∵Ｐ（ｔ，０）在直线ｙ＝ｘ＋３上，∴ｔ＋３＝０，解得ｔ＝－３，∴Ｐ（－３，０）， ∴｜ＰＡ－ＰＢ｜的最大值为槡２，对应的点Ｐ的坐标为（－３，０）； （３）由题意可得二次函数ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３（ｘ≥０）其函数图象如解图②所示． 设线段ＰＱ所在直线的解析式为ｙ＝ｐｘ＋ｎ，将Ｐ（ｔ，０），Ｑ（０，２ｔ）分别代入，得 ｔｐ＋ｎ＝０， ｎ＝２ｔ{ ， 解得 ｐ＝－２，ｎ＝２ｔ{ ， ∴线段ＰＱ所在直线的解析式为ｙ＝－２ｘ＋２ｔ． 当线段Ｐ１Ｑ１过点（０，３），即点Ｑ与点Ａ重合时，线段Ｐ１Ｑ１与函数ｙ＝－ｘ ２＋２ｘ＋３（ｘ≥０）的图象有一个 公共点，此时ｔ＝３２． 当线段Ｐ２Ｑ２过点（３，０），即点Ｐ与点（３，０）重合时，ｔ＝３，此时线段Ｐ２Ｑ２与函数ｙ＝－ｘ ２＋２ｘ＋３（ｘ≥０） 的图象有两个公共点，分别为点（３，０），（１，４），不符合题意． ∴当３２≤ｔ＜３时，线段ＰＱ与函数ｙ＝－ｘ ２＋２ｘ＋３（ｘ≥０）的图象只有一个公共点． 将ｙ＝－２ｘ＋２ｔ代入ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３（ｘ≥０），得－ｘ２＋２ｘ＋３＝－２ｘ＋２ｔ，∴－ｘ２＋４ｘ＋３－２ｔ＝０． 令Δ＝１６－４×（－１）×（３－２ｔ）＝０，解得ｔ＝７２， ∴当ｔ＝７２时，线段Ｐ３Ｑ３与函数ｙ＝－ｘ ２＋２ｘ＋３（ｘ≥０）的图象只有一个公共点． 综上所述，ｔ的取值范围是３２≤ｔ＜３或ｔ＝ ７ ２． ２２ 培优册·江西数学 专 题 六 二 次 函 数 图 象 性 质 综 合 题 ２．（２０２０江西２２题９分）已知抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ，ｂ，ｃ是常数，ａ≠０）的自变量ｘ与函数 值ｙ的部分对应值如下表： ｘ … －２ －１ ０ １ ２ … ｙ … ｍ ０ －３ ｎ －３ … （１）根据以上信息，可知抛物线开口向　　　　，对称轴为　直线ｘ＝１　； （２）求抛物线的表达式及ｍ，ｎ的值； （３）请在图中画出所求的抛物线．设点Ｐ为抛物线上的动点，ＯＰ的中点为Ｐ′，描出相应的点 Ｐ′，再把相应的点Ｐ′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ （４）设直线ｙ＝ｍ（ｍ＞－２）与抛物线及（３）中的点Ｐ′所在曲线都有两个交点，交点从左到右 依次为Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４，请根据图象直接写出线段Ａ１Ａ２，Ａ３Ａ４之间的数量关系　　　　　． 第２题图 解：（１）上，直线ｘ＝１； （２）把（－１，０），（０，－３），（２，－３）代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，得 ａ－ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝－３， ４ａ＋２ｂ＋ｃ＝－３ { ， 解得 ａ＝１， ｂ＝－２， ｃ＝－３ { ， ∴抛物线的表达式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－３，当ｘ＝－２时，ｍ＝４＋４－３＝５；当ｘ＝１时，ｎ＝１－２－３＝－４； （３）画出抛物线图象，描出Ｐ′的轨迹，是一条抛物线，如解图①所示；【解法提示】设 Ｐ（ｘ，ｙ），Ｐ′（ｐ，ｑ）， ∵点Ｐ′为ＯＰ的中点，∴ｐ＝１２ｘ，ｑ＝ １ ２ｙ，即ｘ＝２ｐ，ｙ＝２ｑ，代入ｙ＝ｘ ２－２ｘ－３中，得（２ｐ）２－２×２ｐ－３＝ ２ｑ，∴ｑ＝２ｐ２－２ｐ－３２，即点Ｐ′所在的抛物线的表达式为ｙ＝２ｘ ２－２ｘ－３２． （４）Ａ３Ａ４－Ａ１Ａ２＝１．【解法提示】解法一：不妨假设交点在ｘ轴上，则 Ａ１（－１，０），Ａ２（－ １ ２，０），Ａ３（１．５， ０），Ａ４（３，０），∴Ａ３Ａ４＝１．５，Ａ１Ａ２＝０．５，∴Ａ３Ａ４－Ａ１Ａ２＝１． 解法二：如解图②，设点Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４对应的横坐标分别为 ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４，∴Ａ１Ａ２＝ｘ２－ｘ１，Ａ３Ａ４＝ｘ４－ ｘ３，∴Ａ３Ａ４－Ａ１Ａ２＝ｘ４－ｘ３－（ｘ２－ｘ１）＝ｘ４