专题05 以几何动态问题为背景的函数综合探究题- 【一战成名新中考】2024江西中考数学·培优册

培优册·江西数学 专 题 五 以 几 何 动 态 问 题 为 背 景 的 函 数 综 合 探 究 题 专题五　以几何动态问题为背景的函数综合探究题（２０２３新增考法） 　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图①，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝３６°，动点 Ｐ从 点Ａ出发，沿折线 Ａ→Ｂ→Ｃ匀速运动至点 Ｃ停止．设点Ｐ的路程为ｘ．ＡＰ的长度为ｙ， ｙ与ｘ的函数图象如图②所示． （１）当ＡＰ恰好平分∠ＢＡＣ时，求ｘ的值； （２）在（１）的条件下，求证：ＢＰ２＝ＰＣ·ＢＣ． 图① 　 图② 第１题图 （１）解：如解图，连接ＡＰ， 由题图②可得ＡＢ＝ＢＣ＝４， ∵∠Ｂ＝３６°，ＡＢ＝ＢＣ， ∴∠ＢＡＣ＝∠Ｃ＝７２°， ∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＰ＝∠ＰＡＣ＝∠Ｂ＝３６°， ∴ＡＰ＝ＢＰ，∠ＡＰＣ＝７２°＝∠Ｃ， ∴ＡＰ＝ＡＣ＝ＢＰ， ∵∠ＰＡＣ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｃ， ∴△ＡＰＣ∽△ＢＡＣ，∴ＡＰＢＡ＝ ＰＣ ＡＣ， ∴ＡＰ２＝ＢＡ·ＰＣ＝４（４－ＡＰ）， ∴ＡＰ＝２槡５－２（负值已舍去）， ∴ＢＰ＝ＡＰ＝２槡５－２， ∴ｘ＝４＋２槡５－２＝２槡５＋２； （２）证明：由（１）知，ＡＰ２＝ＡＢ·ＰＣ， ∵ＡＰ＝ＢＰ，ＡＢ＝ＢＣ，∴ＢＰ２＝ＢＣ·ＰＣ． ２．（２０２３重庆 Ｂ卷）如图，△ＡＢＣ是边长为４ 的等边三角形，动点 Ｅ，Ｆ均以每秒１个单 位长度的速度同时从点 Ａ出发，Ｅ沿折线 Ａ→Ｂ→Ｃ方向运动，Ｆ沿折线 Ａ→Ｃ→Ｂ方 向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的 时间为ｔ秒，点Ｅ，Ｆ的距离为ｙ． （１）请直接写出ｙ关于ｔ的函数关系式并注 明自变量ｔ的取值范围； （２）在给定的平面直角坐标系中，画出这个 函数图象，并写出该函数的一条性质； （３）结合函数图象，直接写出点Ｅ，Ｆ相距３ 个单位长度时ｔ的值． 　　 第２题图 解：（１）当点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ，ＡＣ上运动时， △ＡＥＦ为边长等于ｔ的等边三角形， ∴点Ｅ，Ｆ的距离等于ｔ， ∴当０≤ｔ≤４时，ｙ关于ｔ的函数关系式为ｙ＝ｔ； 当点Ｅ，Ｆ都在ＢＣ上运动时，点Ｅ，Ｆ的距离等于 ４－２（ｔ－４）， ∴当４＜ｔ≤６时，ｙ关于ｔ的函数关系式为ｙ＝４－ ２（ｔ－４）＝－２ｔ＋１２， ∴ｙ关于ｔ的函数关系式为ｙ＝ ｔ（０≤ｔ≤４）， －２ｔ＋１２（４＜ｔ≤６{ ）； （２）由（１）中得到的函数关系式可知：当 ｔ＝０时， ｙ＝０；当ｔ＝４时，ｙ＝４；当ｔ＝６时，ｙ＝０， 分别描出三个点（０，０），（４，４），（６，０），然后顺次 连线，如解图                                                                    ， ９１ 培优册·江西数学 专 题 五 以 几 何 动 态 问 题 为 背 景 的 函 数 综 合 探 究 题 ３．（２０２３江西２３题１２分）综合与实践 问题提出 某兴趣小组开展综合实践活动：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｄ为ＡＣ上一点，ＣＤ＝槡２，动点Ｐ 以每秒１个单位的速度从Ｃ点出发，在三角形边上沿Ｃ→Ｂ→Ａ匀速运动，到达点Ａ时停止， 以ＤＰ为边作正方形ＤＰＥＦ．设点Ｐ的运动时间为ｔｓ，正方形ＤＰＥＦ的面积为Ｓ，探究Ｓ与ｔ 的关系． 初步感知 （１）如图①，当点Ｐ由点Ｃ运动到点Ｂ时， ①当ｔ＝１时，Ｓ＝　３　； ②Ｓ关于ｔ的函数解析式为　Ｓ＝ｔ２＋２　． （２）当点Ｐ由点Ｂ运动到点Ａ时，经探究发现Ｓ是关于ｔ的二次函数，并绘制成如图②所示 的图象．请根据图象信息，求Ｓ关于ｔ的函数解析式及线段ＡＢ的长． 延伸探究 （３）若存在３个时刻ｔ１，ｔ２，ｔ３（ｔ１＜ｔ２＜ｔ３）对应的正方形ＤＰＥＦ的面积均相等． ①ｔ１＋ｔ２＝　４　； ②当ｔ３＝４ｔ１时，求正方形ＤＰＥＦ的面积． 图① 　　　　 图② 第３题图 由１８＝（ｔ－４）２＋２，得ｔ＝８或ｔ＝０（舍去）， ∴ＡＢ＝（８－２）×１＝６． （３）①４；【解法提示】由（１）（２）可得Ｓ＝ ｔ２＋２，０≤ｔ＜２， （ｔ－４）２＋２，２≤ｔ≤８{ ． 如解图，补全０≤ｔ＜２时的图象．根据图象可知０≤ｔ≤２时的图象与２≤ｔ≤４时的图象关于直线 ｔ＝２对 称．因此ｔ１＋ｔ２＝４．②解法一：函数 Ｓ＝ｔ ２＋２的图象向右平移４个单位与函数 Ｓ＝（ｔ－４）２＋２的图象 重合． ∵当ｔ＝ｔ１和ｔ＝ｔ３时，Ｓ的值相等， ∴ｔ３－ｔ１＝４． 解法二：根据二次函数的对称性，可知ｔ２＋ｔ３＝８． 由①可知ｔ１＋ｔ２＝４， ∴ｔ３－ｔ１＝４． 又∵ｔ３＝４ｔ１，∴４ｔ１－ｔ１＝４，解得ｔ１＝ ４ ３． 此时正方形ＤＰＥＦ的面积Ｓ＝ｔ２１＋２＝ ３４ ９． ０２ 培优册·江西