专题04 课本再现- 【一战成名新中考】2024江西中考数学·培优册

培优册·江西数学 专 题 四 课 本 再 现 专题四　课本再现（近３年必考，在解答题中考查） 　　　　　　　　　　　　　　　　１．课本再现 某校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两 个队之间都要比赛一场．根据场地和时间 等条件，赛程计划安排７天，每天安排４场 比赛． （１）①共有　２８　场比赛； ②设比赛组织者邀请ｘ个队参赛，每个 队要与其他　（ｘ－１）　个队各赛一场， 所以全部比赛　　　　　场，列方程： 　　　　　　　　　； 小试牛刀 （２）若参加聚会的每两人之间都要握手一 次，所有人共握手了１０次，则有多少人 参加聚会？ 综合运用 （３）小江给小西出题：“若在∠ＡＯＢ的内部 由顶点 Ｏ引出 ａ条射线（不含 ＯＡ，ＯＢ 边），角的总数为２０，求 ａ的值．”小西 的思考：“在这个问题上，角的总数不可 能为 ２０．”小西的思考对吗？请说明 理由． ２．课本再现 （１）如图①，②是“数形结合”的典型实例， 应用“等积法”验证乘法公式．图①验证 的是　（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２　，图② 验证的是　（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２　； （２）应用公式计算： ①已知ｘ＋ｙ＝５，ｘｙ＝－１，求ｘ２＋ｙ２的值； ②求２０２２２－２０２１×２０２３的值． 图① 图② 第２题图 解：（１）（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２； （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２； （２）①∵ｘ＋ｙ＝５，ｘｙ＝－１， ∴ｘ２＋ｙ２ ＝（ｘ＋ｙ）２－２ｘｙ ＝５２－２×（－１） ＝２７； ②原式＝２０２２２－（２０２２－１）（２０２２＋１） ＝２０２２２－（２０２２２－１） ＝１                                                                     ． ３１ 培优册·江西数学 专 题 四 课 本 再 现 ３．课本再现 （１）如图①，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别是 ＡＣ， ＢＣ的中点，则线段ＤＥ与边ＡＢ的数量 关系是 　　　　　　　，位置关系 是　ＤＥ∥ＡＢ　； 拓展应用 （２）如图②，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，连接 ＡＣ并延长至点Ｅ，连接ＤＥ并延长至点 Ｆ，使得 ＥＦ＝ＤＥ，连接 ＢＦ．求证：ＡＥ ∥ＢＦ． 图① 　　 图② 第３题图 （１）解：ＤＥ＝１２ＡＢ，ＤＥ∥ＡＢ；【解法提示】∵Ｄ，Ｅ 分别是 ＡＣ，ＢＣ的中点，∴ＤＥ为△ＡＢＣ的中位 线，∴ＤＥ＝１２ＡＢ，ＤＥ∥ＡＢ． （２）证明：如解图，连接ＢＤ，与ＡＣ交于点Ｐ， ∵四边形 ＡＢＣＤ为平行四边形，Ｐ为对角线 ＡＣ， ＢＤ的交点， ∴ＤＰ＝ＢＰ， 又∵ＤＥ＝ＥＦ， ∴ＰＥ是△ＢＤＦ的中位线， ∴ＰＥ∥ＢＦ，即ＡＥ∥ＢＦ． ４．课本再现 （１）如图①，△ＡＢＣ是等边三角形，ＤＥ∥ ＢＣ，分别交 ＡＢ，ＡＣ于点 Ｄ，Ｅ．求证： △ＡＤＥ是等边三角形； 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ． ∵ＤＥ∥ＢＣ， ∴∠ＡＤＥ＝∠Ｂ，∠ＡＥＤ＝∠Ｃ， ∴∠Ａ＝∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ， ∴△ＡＤＥ是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ａ＝６０°． ∵ＤＥ∥ＢＣ， ∴∠Ｂ＝∠ＡＤＥ，∠Ｃ＝①　∠ＡＥＤ　， ∴②　∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ　， ∴ＡＤ＝ＡＥ（③　等角对等边　）， ∴△ＡＤＥ是等腰三角形． 又∵∠Ａ＝６０°，∴△ＡＤＥ是等边三角形． 拓展应用 （２）如图②，等边三角形ＡＢＣ的两条角平分 线相交于点 Ｄ，延长 ＢＤ至点 Ｅ，使得 ＡＥ＝ＡＤ．求证：△ＡＤＥ是等边三角形． 图① 　　 图② 第４题图 （１）解：①∠ＡＥＤ；②∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ；③等角对 等边； （２）证明：∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＢＣ＝６０°， ∵ＢＥ，ＡＤ分别为∠ＡＢＣ，∠ＢＡＣ的平分线， ∴∠ＡＢＤ＝１２∠ＡＢＣ＝３０°，∠ＢＡＤ＝ １ ２∠ＢＡＣ ＝３０°． ∵∠ＡＤＥ为△ＡＢＤ的外角， ∴∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＤ＋∠ＢＡＤ＝６０°， ∵ＡＥ＝ＡＤ， ∴△ＡＤＥ是等边三角形                                                                          ． ４１ 培优册·江西数学 专 题 四 课 本 再 现 ５．课本再现 黄金分割是一种最能引起美感的分割比 例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴 藏