第03讲 导数的几何意义及函数的单调性（3大考点+强化训练）-2024年冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

第3讲　导数的几何意义及函数的单调性（3大考点+强化训练） 【知识导图】 【考点分析】 考点一　导数的几何意义与计算 1．导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 2．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x＝y′u·u′x. 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024·山西·校联考模拟预测）已知函数，若直线与曲线相切，则 . 3．（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）已知，则 .（用数字作答） 考点二　利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数y＝f(x)的定义域． (2)求f(x)的导数f′(x)． (3)求出f′(x)的零点，划分单调区间． (4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号． 一、单选题 1．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2024上·山西·高三期末）已知函数，. (1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 3．（2024上·天津河北·高三统考期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)在（2）的条件下，当时，，求实数的取值范围. 考点三　单调性的简单应用 1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立． 2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解． 一、单选题 1．（2024上·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，，且在恒有成立，则的解集为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知函数为常数，过曲线上一点处的切线与轴垂直. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若对任意的，使得（是自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围. 3．（2024上·江苏盐城射阳中学校联考期末）设函数. (1)求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【强化训练】 一、单选题 1．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则 A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·江苏盐城阜宁中学校联考期末）已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 5．（2023下·四川宜宾校考期中）设函数，曲线在点处的切线方程为．则（    ） A．0 B．2 C．1 D． 6．已知函数，则等于（    ） A．0 B．2 C． D． 二、多选题 7．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知，，是的导函数，则（    ）． A．是由图象上的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的 B．是由图象上的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度得到的 C．的对称轴方程为， D．是的一条切线方程 8．已知函数的定义域为．（    ） A． B． C． D．被8整除余数为7 三、填空题 9．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为 . 10．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为 . 11．若关于x不等式的解集中的正整数有且只有一个，则k的取值范围是 . 12．若函数在处的切线方程为，则 ． 四、解答题 13．已知函数，其中． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值及函数的单调区间； （2）若函数在定义域上有两个极值点，，且，求证：． 14．设函数 （1）判断函数的单调性; （2）若方程在区间上恰有两个不同的实根,求实数的取值范围. 15．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在实数，使得在具有单调性？若存在，求所有的取值