专题5.2 平面向量的数量积及其应用【七大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题5.2 平面向量的数量积及其应用【七大题型】 【新高考专用】 【题型1 平面向量的数量积】 2 【题型2 平面向量夹角问题】 3 【题型3 平面向量的模】 4 【题型4 平面向量的垂直问题】 4 【题型5 向量数量积的坐标运算】 5 【题型6 向量数量积的综合应用】 5 【题型7 向量数量积与解三角形综合】 6 1、平面向量的数量积及其应用 平面向量是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来分析，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，其中平面向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示的掌握，能灵活运用定义法、坐标法和基底法解决常见的数量积有关问题. 【知识点1 平面向量数量积的解题方法】 1.平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 【知识点2 数量积的两大应用】 1.夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. 2.向量的模的求解思路： (1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； (2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； (3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 【知识点3 向量数量积综合应用的方法和思想】 1.向量数量积综合应用的三大解题方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. (3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用. 【知识点4 极化恒等式】 1.极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. (3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 【题型1 平面向量的数量积】 【例1】（2023·广东东莞·东莞市东华高级中学校考一模）在中，，，，则（    ） A． B．16 C． D．9 【变式1-1】（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式1-2】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知平面向量与的夹角为，且，则（    ） A． B．-2 C．2 D． 【变式1-3】（2023下·广东揭阳·高三校考阶段练习）如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 平面向量夹角问题】 【例2】（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知向量，，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）已知单位向量，的夹角为，向量，，，向量，的夹角的余弦值为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-2】（2023·全国·学军中学校联考二模）为平行四边形外一点，，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【题型3 平面向量的模】 【例3】（2023·云南昭通·校考模拟预测）已知则=（    ） A．4 B． C．10 D．16 【变式3-1】（2023·河北张家口·统考一模）已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式3-2】（2023·浙江·模拟预测）已知平面向量的夹角为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023下·浙江·高二学业考试）已知平面向量满足，则的最大值是（    ） A． B．12 C． D． 【题型4  平面向量的垂直问题】 【例4】（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量，，，满足，若，则（    ） A． B