专题5.1 平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示【六大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

专题5.1 平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示【六大题型】 【新高考专用】 【题型1 平面向量的基本概念】 2 【题型2 平面向量的线性运算】 3 【题型3 向量共线定理的应用】 3 【题型4 平面向量基本定理的应用】 4 【题型5 平面向量的坐标运算】 5 【题型6 向量的线性运算的几何应用】 6 1、平面向量的概念、线性运算与基本定理及坐标表示 平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的线性运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活求解. 【知识点1 平行向量有关概念的归纳】 1.平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. (4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【知识点2 平面向量线性运算问题的解题策略】 1.平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 2.向量线性运算的含参问题的解题策略： 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 3.利用共线向量定理解题的策略： (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【知识点3 平面向量基本定理的探究】 1.应用平面向量基本定理求向量的实质 应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路： 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【知识点4 平面向量坐标运算的方法技巧】 1.平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【题型1 平面向量的基本概念】 【例1】（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-2】（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（    ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式1-3】（2022·云南昆明·统考模拟预测）下列有关四边形的形状判断错误的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为梯形 C．若，且，则四边形为菱形 D．若，且，则四边形为正方形 【题型2 平面向量的线性运算】 【例2】（2023·浙江·统考二模）设是平行四边形的对角线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）如图，已知中，是边上一点，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在中，是线段上一点，满足是线段的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·河北邯郸·统考三模）已知等腰梯形满足，与交于点，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 向量共线定理的应用】 【例3】（2023·全国·模拟预测）如图，平行四边形中，与相交于点，，若 ，则（