福建省龙岩市2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量检查数学试题

龙岩市2023～2024学年第一学期期末高一教学质量检查 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B C C D A 8．解：函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意 ，又，则有， 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 于是，函数在上单调递增， 则，有，因此， 所以实数的取值范围是. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 9 10 11 12 答案 BD ABD ACD BC 12．解：因为，所以的图象关于点对称， 又对任意，都有，所以当时，取得最大值. 因为在是单调函数，所以得， 所以，又因为函数在时取得最大值， 所以． 因为，所以，则. 因为函数，所以， A．为奇函数，故A错误. B. 函数在时取得最大值，又因为，周期， 所以时，函数在取得最大值， 则实数的取值范围为，故B正确． C．，且，故C正确. D．若的图象关于直线对称， 只要证对定义域内的都成立，取，， 但 所以，矛盾， 所以的图象不关于直线对称. 故D错误． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（写出或的其中一个值即可） 14．5 15． 或 16． 解：当时，， 当时，，可得，则； 当时，，则. 函数的定义域为，令时，， 得，所以函数是奇函数. 令得，， 又函数是奇函数，所以，所以. 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分） 解：选条件①：因为的终边与单位圆的交点为， 可得为锐角，所以， 1分 所以由三角函数的定义可得. 2分 选条件②： 因为为锐角，所以； 1分 又因为，得. 2分 选条件③：因为，， 所以得 又因为锐角，所以， 1分 2分 （1） 4分 . 5分 （2）， . 7分 ，. 10分 18．（本题满分12分） 解：（1）在中，，所以. 2分 又因为，所以函数的对称轴， 解得：， 4分 所以. 6分 （2）由（1）得， 若对于，不等式恒成立， 即对恒成立. 又因为， 令， 则在单调递增， 8分 只需， 所以， 10分 所以的取值范围是. 12分 19．（本题满分12分） 解：（1）∵，依题意得：当时，；当时，， ∴， 2分 即，所以， 4分 那么10小时后的污染物含量为， 故10小时后还剩81％的污染物. 6分 （2）令，得. ① 8分 又，得. ② 10分 由①②得. 故污染物减少50%需要花33小时. 12分 20．（本题满分12分） 解：（1）因为是偶函数，所以对于任意的实数，有， 所以对任意的实数恒成立， 2分 即恒成立， 5分 所以，即. 6分 （2）因为在上单调递增， 所以时，， 7分 时，. 8分 又因为对任意，总存在使得， 所以的值域是值域的子集， 即， 9分 解得：， 11分 所以实数的取值范围为. 12分 21.（本题满分12分） 解:（1）…1分 3分 因为函数最小正周期与函数相同,且函数的周期为,所以.又因为函数的图象关于直线对称,所以, 因为,所以, 所以. 4分 由, 所以函数的单调递减区间是 6分 （2）证明:①当时，函数 在(0,2]上单调递增，因为 7分 所以根据零点存在定理，使得 故在上有且只有一个零点. 8分 ②当时,因为单调递增，单调递减， 9分 ③当时, 因为单调递增， 所以， 综上：有且只有一个零点，且. 10分 因为， 所以， 在上单调递减， 11分 ，. 12分 22. （本题满分12分） 解：（1）任取，则， 1分 ， 3分 因为函数在上为增函数，且时，， 所以由可得,即， 4分 ，，则，， 因此，实数的取值范围是. 5分 （2）当时，. 令， 因为在上单调递减，又在定义域上单调递增，所以在上单调递减， 6分 因为在区间上的值域为 ， 所以 即. 8分 令（因为，所以）， 易知，关于的方程在上有两个不等实数根， 等价于关于的方程在有两个不等实数根， （时，，） 10分 令， 则，解得， 所以的取值范围是. 12分 学科网（北京）股份有限公司 $$