精品解析：河北省衡水市冀州中学2024届高三第一次调研数学试题

衡水市冀州中学2024届高三第一次调研 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知全集，，则集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知复数满足：，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 抛物线焦点为，过点的直线与交于两点，则的值是（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知三棱锥的外接球半径为，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，其图象关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 10. 袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球，从中取三次球，每次取一个球，取球后不放回，设事件，，，则下列结论正确的是（ ） A B. C. A与B相互独立 D. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 若F恰好为的中点，则直线的斜率为 D. 直线过定点 12. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 使得 C. 若方程为参数，有两个不等实数根，则的取值范围是 D. 方程有且只有两个实根． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有______种． 14. 记为等差数列的前项和，公差不为0，若，则______． 15. 已知一个圆锥内切球的半径为3，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的母线长为______． 16. 若对任意，，恒有，则正整数的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 17. 已知在中. 所对边分别为,若，的面积为. (1)求角的大小; (2)若,求的值. 18. 已知数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列前项和为，求证：． 19. 如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面. （1）证明：四点共面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求长. 20. 为参加凉山州第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参加州级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为，乙同学晋级第二轮的概率为．若甲、乙能进入第二轮，在第二轮比赛中甲、乙两人能胜出的概率均为．假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响． （1）若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮的概率为，求的值； （2）在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加州级比赛的概率． 21. 已知椭圆方程为（），离心率为且过点. （1）求椭圆方程； （2）动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值； （3）过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 22. 设函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值； （2）若当时，恒有，求实数a的取值范围； （3）设时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡水市冀州中学2024届高三第一次调研 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知全集，，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦恩图即可得解. 【详解】因为， 又，所以. 故选：C. 2. 已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ） A. B.